Question

Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ser inscrito en un triángulo rectángulo de catetos 3 y 7
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Answer 1

Explicación paso a paso:

El rectángulo inscrito de mayor área posible es el de dimensiones x=2 e y=3/2.

¿Cómo inscribir un rectángulo en el triángulo rectángulo?

Al inscribir un rectángulo en el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 ABC queda el rectángulo EBDM, además quedan formados los triángulos MDC y AEM, semejantes al ABC por la aplicación del teorema de Tales:

\begin{gathered}\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{MD}\\\\\frac{BC}{EM}=\frac{AB}{AE}\end{gathered}DCBC=MDABEMBC=AEAB

También podemos trazar un plano cartesiano cuyos ejes coincidan con los catetos del triángulo, en ese caso, la hipotenusa sería la recta con raiz en x=4 y ordenada al origen en y=3, la ecuación de esta recta sería:

\begin{gathered}y=mx+3\\\\0=m.4+3\\\\m=-\frac{3}{4}= > y=-\frac{3}{4}x+3\end{gathered}y=mx+30=m.4+3m=−43=>y=−43x+3

Así, las nuevas dimensiones del rectángulo serían 'x' y f(x)=-\frac{3}{4}.x+3f(x)=−43.x+3 .

Entonces, vamos a derivar la expresión de área A=x(-\frac{3}{4}x+3)A=x(−43x+3)  e igualar la derivada a cero:

\begin{gathered}A=-\frac{3}{4}x^2+3x=\\\\\frac{dA}{dx}=-\frac{3}{2}x+3=0\\\\\frac{3}{2}x=3\\\\x=2\end{gathered}A=−43x2+3x=dxdA=−23x+3=023x=3x=2

Entonces, el rectángulo de mayor área posible tiene dimensiones x=2 e y=-\frac{3}{4}.2+3=\frac{3}{2}y=−43.2+3=23