Question

Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ser inscrito en un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4.

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Answer 1

El rectángulo inscrito de mayor área posible es el de dimensiones x=2 e y=3/2.

¿Cómo inscribir un rectángulo en el triángulo rectángulo?

Al inscribir un rectángulo en el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 ABC queda el rectángulo EBDM, además quedan formados los triángulos MDC y AEM, semejantes al ABC por la aplicación del teorema de Tales:

$\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{MD}\\\\\frac{BC}{EM}=\frac{AB}{AE}$

También podemos trazar un plano cartesiano cuyos ejes coincidan con los catetos del triángulo, en ese caso, la hipotenusa sería la recta con raiz en x=4 y ordenada al origen en y=3, la ecuación de esta recta sería:

$y=mx+3\\\\0=m.4+3\\\\m=-\frac{3}{4}= > y=-\frac{3}{4}x+3$

Así, las nuevas dimensiones del rectángulo serían 'x' y $f(x)=-\frac{3}{4}.x+3$.

Entonces, vamos a derivar la expresión de área $A=x(-\frac{3}{4}x+3)$  e igualar la derivada a cero:

$A=-\frac{3}{4}x^2+3x=\\\\\frac{dA}{dx}=-\frac{3}{2}x+3=0\\\\\frac{3}{2}x=3\\\\x=2$

Entonces, el rectángulo de mayor área posible tiene dimensiones x=2 e $y=-\frac{3}{4}.2+3=\frac{3}{2}$

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