Question

Determine la suma de Riemann de la siguiente funcion:
f(x)= x²-4 en el intervalo [-2,2]​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                 Suma de Riemann

"Con este método nos podemos aproximar al área bajo la curva, para ello lo que hacemos es dividirla en varias formas (por ej: rectangulitos)"

Sabemos que el intervalo [a,b ] tendrá de longitud b - a.  Si a esta longitud la partimos en "n" intervalitos, obtenemos:

Δₓ= b-a/n  

La altura será la función evaluada en algún xᵢ determinado, es decir f(xᵢ)

El área del rectángulo i-esimo será:

Δₓ × f(xᵢ)

Ahora sumando todos los intervalos obtenemos:

 

A= ∑ Δₓ × f(xᵢ)

*La sumatoria va desde i= 1 hasta algún n que determinemos"

Cuando n se va haciendo mas y mas grande, el area se va haciendo mas exacta, lo que obtenemos:

A= Lim  ×∑× Δₓ×f(xᵢ)      

    n→∞

Todo esto en caso que f sea continua y el limite por supuesto exista

Ahora si vamos al ejercicio

f(x)= x²-4 en el intervalo [-2,2]​

Calculemos Δₓ

Δₓ= $\frac{2-(-2)}{n}$

Δₓ= $\frac{4}{n}$

Ahora f(xᵢ), xᵢ  es un valor de abscisa dentro del intervalo i-esimo

Una forma de calcularlo es:

xᵢ= a+ i×Δₓ

xᵢ= $-2+i*\frac{4}{n}$

xᵢ= $\frac{4i}{n} -2$

Por lo tanto f(xᵢ) será:

 f(xᵢ) = $(\frac{4i}{n} -2)^{2} -4$  

Reemplazando:

A= Lim  ∑ 4/n×{(4i/n - 2)² - 4}

    n →∞

A= Lim ∑ 4/n × (16i²/n² - 16i/n )

     n →∞

A= Lim ∑ (64i²/n³ - 64i/n²)

     n→∞

Por propiedad de las sumatorias

A= Lim ∑(64i²/n³) -  ∑(64i/n²)

    n→∞

Como 64/n³ es un valor constante, usamos otra vez propiedades de la sumatoria y la sacamos afuera

A=  Lim  64/n³ × ∑i²   - 64/n²× ∑i

     n→∞

Aplicando la formula de la sumatoria de i² e i obtenemos:

A={Lim  64/n³ × (1/6×n×(n+1)× (2n+1)) - 64/n²× (n(n+1))/ 2}

   n→∞

A= {Lim  [32×(n+1)×(2n+1)]/3n²  -  [32×(n+1)]/n }

      n→∞

Ahora debemos aplicar propiedades de los limites para así simplificar, para no hacer de esto muy largo, omitiré los cálculos de los limites

A= 64/3 - 32

A= -32/3

Calculamos su valor absoluto

A= 32/3  Solución

Saludoss