Question

Determine la linealización de L(x,y) de la función f(x,y) en p_0. Luego determine una cota superior M, para la magnitud |E| del error de la aproximación f(x,y)≈L(x,y) en el rectángulo R.
f(x,y)=1+y+xcosy en P_0 (0,0),
R:|x|≤0.2, |y|≤0.2 (Use |cosy|≤1 y |seny|≤1 al estimar E.)

Answer 1

Para linealizar la función, primero debemos encontrar un plano tangente en el punto p0 =(0,0). En ese punto la función es:

$f(0,0) = 1+0+0.cos(0)=1$

Con lo que hay que linealizar alrededor de (0,0,1)

La función linealización L(x,y) se calcula como:

$L(x,y)=f(x_0,y_0)+F'_x(x_0,y_0).(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0).(y-y_0)$

Siendo las derivadas parciales:

$F'_x(0,0)=cos(y)=cos(0)=1\\F'_y(0,0)=1-x.sen(y)=1-0.sen(0)=1$

Reemplazando las derivadas parciales queda:

$L(x,y)=1+(x-0)+(y-0)$

$L(x,y)=1+x+y$

Esa es también la ecuación del plano tangente a la función en el punto (0,0,1). Ahora para hallar el error obtenemos una cota de él en el segundo término del polinomio de Taylor:

$E(x,y)=\frac{1}{2!}[(x-x_0)^2F_{xx}(c_1,c_2)+2(x-x_0)(y-y_0)F_{xy}(c_1,c_2)+(y-y_0)^2F_{yy}(c_1,c_2)]$

Las derivadas segundas aquí son:

$F''_{xx}=\frac{dF'_x}{dx} =0\\F''_{xy}=\frac{dF'_x}{dy} =-sen(y)\\F''_{yy}=\frac{dF'_y}{dy} =-x.cos(y)$

Con lo que si tomamos el rectángulo:

$|x|\leq 0,2\\|y|\leq 0,2$

Tengo las cotas para las funciones derivadas segundas, es decir los máximos valores que pueden tomar en el entorno requerido:

$|sen(y)|\leq 1=> |F''_{xy}|\leq 1\\|cos(y)|\leq 1=> |F''_{yy}| \leq 0,2$

La ecuación del error queda:

$E=\frac{1}{2}[(x-x_0)(y-y_0)F''_{xy}+(y-y_0)^2F''_{yy}]\\|E|\leq \frac{1}{2}[0,2.0,2.1+(0,2)^2.0,2]\\|E|\leq0,024$

De modo que obtuve una cota para el error:

$M=0,024$