Question

Determine la integral ∫ x2 sen(x)dx:

Answer 1

                      Integración por partes

¿Cómo aplicamos la integración por partes?

$\textrm{Se procede como sigue: }$

• Se parte por identificar en el integrando el producto de dos funciones (u·dv).
• Una vez hecho esto, definimos quién es el "u" (que se someterá a derivación) y el "dv" (que se someterá a integración).
• Entonces, llegaremos a formular este método muy útil:

                                       $\sf{\int{u.dv=u.v-\int{v.du}}$__________________________________________________________

$\textrm{Sea la integral dada: }$            

$\sf{{\int{x^2senx} \, dx$

$\textrm{Establecemos el producto (1\° vez): }$

$\sf{dv=senx\rightarrow v=-cosx} \\\sf{u=x^2} \rightarrow \sf{du=2x }}$

$\textrm{Entonces: }$

$\sf{-x^2cosx-\int{-xcosx} \, dx} \\\sf{-x^2cosx+2\int{xcosx} \, dx}$

$\textrm{En esta integral resultante, establecemos el producto (2\° vez): }$

$\sf{dv=cosx\rightarrow v=senx}\\\sf{u=x\rightarrow du=1}$

$\textrm{Entonces: }$

$\sf{-x^2cosx+2xsenx-2\int {senx} \, dx } \\\sf{-x^2cosx+2xsenx+2cosx \, dx }$

$\textrm{Finalmente, factorizando: }$

$\sf{cosx(2-x^2)+2xsenx+C}$   ................Rpta

Answer 2

Respuesta:

$=-x^2\cos \left(x\right)+2\left(x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)+C$

Explicación paso a paso:

$\int \:x^2\sin \left(x\right)dx$

Aplicamos la integral por parte

$u =x^{2}$

$du =(2x) dx$

Recordemos que la derivada del seno es coseno

$\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right) = cos(x)$

entonces

$v =cos(x)$

$dv = -sin(x)$

a través de la formula general

$\int \:udv =uv-\int \:vdu$

---------------------------------

$=-x^2\cos \left(x\right)-\left(-2\left(x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)\right)$

simplificamos

$=-x^2\cos \left(x\right)+2\left(x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)$

Se agrega la constante C

$=-x^2\cos \left(x\right)+2\left(x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)+C$