Question

Determine la integral definida paso a paso

Answer 1

quitado valor absoluto para los valores de $-3\leq x \leq 5$

donde $-3\le \:x\le \:0:\quad \left(-x\right)$

tambien $0\le \:x\le \:5:\quad \left(x\right)$

$=\int _{-3}^0\left(-x\right)dx+\int _0^5\left(x\right)dx$

para $\int _{-3}^0-xdx =-\frac{x^{1+1}}{1+1}=-\frac{x^2}{2}-\frac{\left(-3\right)^2}{2}:\quad -\frac{9}{2}$

para $\int _0^5\left(x\right)dx:\quad \int _0^5\left(x\right)dx=\frac{25}{2}-0$

$\lim _{x\to \:5-}\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{25}{2}$

$=\frac{9}{2}+\frac{25}{2}=17$

Answer 2

¡Hola!  

Tenemos:

$\int _{-3}^5\:\left|x\right|dx$

vamos a encontrar las expresiones en el módulo de x, $- 3 \leq \: x \leq \: 5$ para que se deben eliminar los valores absolutos.

entonces, tenemos:

$-3\leq \:x\leq \:0:\quad \left(-x\right)$

$0\leq \:x\leq \:5:\quad \left(x\right)$

$\int _{-3}^0\left(-x\right)dx+\int _0^5\left(x\right)dx$

Ahora, hagamos por partes separadas cada integral, veamos:

encuentre el límite en dos partes

$\int _{-3}^0\left(-x\right)dx$

$\int _{-3}^0-xdx$

$\int \:-xdx$

$-\int \:xdx$

por la regla de la potencia, tenemos:

$\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}$

$\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}, a \neq -1$

$= -\dfrac{x^{1+1}}{1+1}$

$= -\dfrac{x^2}{2} + Constante$

encuentre el límite

$\int _{-3}^0\left(-x\right)dx$

$\lim _{x\to \:-3+}\left(-\frac{x^2}{2}\right)$

se coloca el valor x = 3, tenemos:

$=-\dfrac{\left(-3\right)^2}{2} = -\dfrac{9}{2}$

encuntre el límite

$\lim _{x\to \:0-}\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)$

$=-\dfrac{0^2}{2} = \dfrac{0}{2} = 0$

que se unen en dos partes, tenemos:

$\int _{-3}^0f\left(x\right)dx=F\left(0\right)-F\left(-3\right)=\lim _{x\to \:0-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:-3+}\left(F\left(x\right)\right)$

$\lim _{x\to \:0-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:-3+}\left(F\left(x\right)\right)$

$\lim _{x\to \:0-}\left(-\frac{x^2}{2}\right) + \lim _{x\to \:-3+}\left(-\frac{x^2}{2}\right)$

$= 0 - \left(-\dfrac{9}{2}\right)$

$= 0 +\dfrac{9}{2}$

$= \boxed{\dfrac{9}{2}}$

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encuntre el límite

$\int \:xdx$

por la regla de la potencia, tenemos:

$\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}$

$\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}, a \neq -1$

$= -\dfrac{x^{1+1}}{1+1}$

$= -\dfrac{x^2}{2} + Constante$

encuntre el límite:

$\int _0^5xdx$

$\lim _{x\to \:5-}\left(\frac{x^2}{2}\right)$

se coloca el valor x = 5, tenemos:

$=\dfrac{5^2}{2} = \dfrac{25}{2}$

que se unen en dos partes, tenemos:

$\int _{0}^5f\left(x\right)dx=F\left(5\right)-F\left(0\right)=\lim _{x\to \:5-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:0+}\left(F\left(x\right)\right)$

$= \lim _{x\to \:5-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:0+}\left(F\left(x\right)\right)$

$= \dfrac{25}{2}-0$

$=\boxed{\dfrac{25}{2}}$

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Para concluir sumamos los valores encontrados, veamos:

$\int _{-3}^5\:\left|x\right|dx = \int _{-3}^0\left(-x\right)dx + \int _0^5\left(x\right)dx$

$\int _{-3}^5\:\left|x\right|dx = \dfrac{9}{2}+\dfrac{25}{2}$

$\int _{-3}^5\:\left|x\right|dx = \dfrac{34}{2}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\int _{-3}^5\:\left|x\right|dx = 17}}}\Longleftarrow(respuesta)\end{array}}\qquad\checkmark$

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¡Espero haberte ayudado, saludos... DexteR! =)