Question

Determine la ecuación general de la recta que pasa por (2/3, 8/3) y por la intersección de las rectas:

L1: 3x-5y-11=0

L2: 4x+y-7=0


ponga su respuesta así como por ejemplo:

12x+8y-27=0

Answer 1

Lo primero que determinaremos será la intersección de las rectas, por ello despejaremos de ambas expresiones "y", para igualarlas  

             $\begin{array}{cccccccccccccc}\begin{array}{c}\underline{\sf{Para\ la \ recta\ L_1}}\\\\\boxed{\begin{array}{c}\sf{3x-5y-11=0}\\\\\sf{5y=3x-11}\\\\\boldsymbol{\sf{y=\dfrac{3x-11}{5}}}\end{array}}\end{array}&&&&&&&&&\begin{array}{c}\underline{\sf{Para\ la \ recta\ L_2}}\\\\\boxed{\begin{array}{c}\\\vphantom{\bigg|}\sf{4x+y-7=0}\\\\\boldsymbol{\sf{y=7-4x}}\\\\\end{array}}\end{array}\end{array}$

Igualamos "y"

                                             $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{3x-11}{5}=7-4x}\\\\\sf{3x-11=5(7-4x)}\\\\\sf{3x-11=35-20x}\\\\\sf{23x=46}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{x=2}}}\end{array}$

Para determinar la intersección reemplazamos "x" en alguna de las ecauciones.

                                                    $\begin{array}{c}\sf{y=7-4x}\\\\\sf{y=7-4(2)}\\\\\sf{y=7-8}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{y=-1}}}\end{array}$

Las rectas L1 y L2 se intersecan en el punto (x,y) = (2,-1)

Pero, nos piden la recta que pasa por (2/3, 8/3) y (2,-1), entonces usaremos lo siguiente:

                                   $\begin{array}{c}\boxed{\:\:\boldsymbol{\mathsf{\vphantom{\rule{1pt}{20pt}_{\rule{1pt}{17pt}}}y-y_1 = \left(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x - x_1)}}\:\:}\\\\\mathsf{Siendo\ (x_1,y_1)\ y \ (x_2,y_2)\ los\ puntos}\end{array}$

Entonces del problema tenemos que:

          $\begin{array}{cccccccccc}\blue{\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright}}\:\:\:\:\mathsf{\boldsymbol{\mathsf{A=}(}\:\overbrace{\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}}^{x_1}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{\dfrac{8}{3}}}_{y_1}\:\boldsymbol{)}}&&&&&&&&&\blue{\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright}\:\:\:\:}\mathsf{\boldsymbol{\mathsf{B=}(}\:\overbrace{\boldsymbol{2}}^{x_2}\:\boldsymbol{,}\:\underbrace{\boldsymbol{-1}}_{y_2}\:\boldsymbol{)}}\end{array}$

Reemplazamos

                                     $\begin{array}{c}\mathsf{y-y_1 = \left(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x - x_1)}\\\\\mathsf{y-(\dfrac{8}{3}) = \left(\dfrac{-1-(\dfrac{8}{3})}{2-(\dfrac{2}{3})}\right)\big(x - \dfrac{2}{3}\big)}\\\\\mathsf{y-\dfrac{8}{3} = \left(\dfrac{-\dfrac{11}{3}}{\dfrac{4}{3}}\right)\big(x - \dfrac{2}{3}\big)}\\\\\end{array}$

                                         $\begin{array}{c}\mathsf{y-\dfrac{8}{3} = \left(-\dfrac{11}{4}\right)\big(x - \dfrac{2}{3}\big)}\\\\\mathsf{(4)(y-\dfrac{8}{3}) = (-11)(x - \dfrac{2}{3})}\\\\\mathsf{4y - \dfrac{32}{3} = -11x + \dfrac{22}{3}}\\\\\mathsf{12y - 32 = -33x + 22}\\\\\red{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{12y + 33x - 54= 0}}}}}\end{array}$

Rpta. La ecuación de la recta es 12y + 33x - 54 = 0

⚠ La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$

Answer 2

Respuesta:

Determine la ecuación general de la recta que pasa por (2/3, 8/3) y por la intersección de las rectas:

L1: 3x-5y-11=0

L2: 4x+y-7=0

ponga su respuesta así como por ejemplo:

12x+8y

Explicación paso a paso: