Question

Determine la ecuación general, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (2, −2), (−1, 4) y (4, 6)

Answer 1

【Rpta.】La ecuación general de la circunferencia es x² + y² - 5.333x - 4.167y - 5.667 = 0.

                                 $\green{{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\blue{\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:genral\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: A=(\underbrace{\mathsf{2}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{-2}}_{y_1})}\\\\ \begin{array}{c}\mathsf{x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\ \mathsf{x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\ \mathsf{(2)^2+(-2)^2+D(2)+E(-2)+F = 0}\\\\ \mathsf{4+4 + 2D - 2E+F = 0}\\\\ \mathsf{8 + 2D - 2E+F = 0}\\\\ \mathsf{\boxed{\mathsf{ 2D - 2E+F = -8}}}\end{array}$

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: B=(\underbrace{\mathsf{-1}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{4}}_{y_2})}\\\\ \begin{array}{c}\mathsf{x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\ \mathsf{x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\ \mathsf{(-1)^2+(4)^2+D(-1)+E(4)+F = 0}\\\\ \mathsf{1+16 - D + 4E+F = 0}\\\\ \mathsf{17 - D + 4E+F = 0}\\\\ \mathsf{\boxed{\mathsf{ -D + 4E+F = -17}}}\end{array}$

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: C=(\underbrace{\mathsf{4}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{6}}_{y_3})}\\\\ \begin{array}{c}\mathsf{x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\ \mathsf{x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\ \mathsf{(4)^2+(6)^2+D(4)+E(6)+F = 0}\\\\ \mathsf{16+36 + 4D + 6E+F = 0}\\\\ \mathsf{52 + 4D + 6E+F = 0}\\\\ \mathsf{\boxed{\mathsf{ 4D + 6E+F = -52}}}\end{array}$

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\begin{array}{c}\mathsf{ 2D - 2E+F = -8}\\\\ \mathsf{ -D + 4E+F = -17}\\\\ \mathsf{ 4D + 6E+F = -52}\end{array}$

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}2 & -2 & 1 & -8\\-1 & 4 & 1 & -17\\ 4 & 6 & 1 & -52\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}2 & -2 & 1\\-1 & 4 & 1\\ 4 & 6 & 1\end{array}\right|=-36}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-8 & -2 & 1\\-17 & 4 & 1\\ -52 & 6 & 1\end{array}\right|=192}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}2 & -8 & 1\\-1 & -17 & 1\\ 4 & -52 & 1\end{array}\right|=150}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}2 & -2 & -8\\-1 & 4 & -17\\ 4 & 6 & -52\end{array}\right|=204}$

Finalmente tenemos que:

                                        $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{192}{-36}\approx-5.333}\\\\\\ \mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{150}{-36}\approx-4.167}\\\\\\ \mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{204}{-36}\approx-5.667}$

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                         $\begin{array}{c}\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n \mathsf{x^2+y^2+(-5.333)x+(-4.167)y+(-5.667)=0}\\\\\\ \mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-5.333x-4.167y-5.667=0}}}}}\end{array}$

                                               $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$