Question

determine la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en el punto P(6,5) siendo la ecuación x²+y²-6x-2y-15=0​

Answer 1

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RESPUESTA

$\Large{ \boxed{\boxed{ \text{3x+4y-38 = 0 }}}}$

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EXPLICACIÓN

Tenemos la ecuación general de una circunferencia:

$\implies \: x^2 +y^2 -6x-2y-15=0$

Lo que haremos es obtener la ecuación ordinaria

Ordenamos

$\implies \: x^2 -6x + y^2 -2y = 15$

Completamos cuadrados

${\implies x^2 -6x+(\frac{6}{2} )^2 + y²-2y+(\frac{2}{2} )^2 = 15+(\frac{6}{2})^2 +(\frac{2}{2})^2}$

${\implies x^2 -6x+3^2 + y^2 -2y+1^2 = 15+3^2 +1^2 }$

$\implies (x-3)^2 + (y-1)^2 = 15+9+1$

$\implies (x-3)^2 + (y-1)^2 = 25$

$\implies (x-3)^2 + (y-1)^2 = 5^2$

Se sabe que:

$\boxed{ (x-h)^2 +(y-k)^2 = r^2 }$

$\: \: \: \: \star \: \bold{r} : \text{radio de la circunferencia}$

$\: \: \: \: \star \: \bold{(h,k)} : \text{centro de la circunferencia}$

Entonces:

$\boxed{ (x-3)^2 + (y-1)^2 = 5^2}$

$\: \: \: \: \star \: \text{El radio r = 5}$

$\: \: \: \: \star \: \text{El centro (3,1)}$

La recta es tangente a la circunferencia en el punto (6,5)

Se cumple que la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en el punto (6,5) es perpendicular a la recta que pasa por el centro (3,1) y por el punto (6,5)

Hallaremos la pendiente de esta última recta que pasa por lo puntos ${( \overset{x_1}{3} ,\overset{y_1}{1})}$ y ${ ( \overset{x_2}{6} ,\overset{y_2}{5})}$

$\implies \: \: \: \: \text{m}_1 = \frac{ y_2 - y_1 }{x_2 - x_1 } = \frac{ 5-1}{6-3} = \frac{4}{3}$

Al multiplicar las pendientes de dos rectas perpendiculares el resultado es -1

$\implies \: \: \: \: \text{m}_1 \cdot \text{m}_2 = -1$

$\implies \: \: \: \: \frac{4}{3} \cdot \text{m}_2 = -1$

$\implies \: \: \: \: \text{m}_2 = - \frac{3}{4}$

Entonces la recta perpendicular, la cual es también la recta tangente, tiene una pendiente de -3/4

Ya tenemos dos datos de la recta tangente

$\implies \text{Un punto de paso:} \: \: \: ( \overset{x_1}{6} ,\overset{y_1}{5})$

$\implies \text{La pendiente:} \: \: \: \text{m}_2 = - \frac{3}{4}$

Entonces la ecuación punto pendiente de la recta tangente es:

➤ $y-y_1 = m_2 (x- x_1)$

➤ $y-5 = - \frac{3}{4} (x-6)$

Hallemos la ecuación general de la recta

➤ $y-5 = - \frac{3}{4} (x-6)$

➤ $4(y-5) = -3(x-6)$

➤ $4y-20 = -3x+18$

➤ $\text{ 3x+4y-20-18 = 0}$

➤ $\bold{3x+4y-38 = 0} \: \to \: \text{La respuesta}$

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En la representación gráfica

• La circunferencia es de color verde

• La recta tangente es de color rojo

• La recta que pasa por el centro de la circunferencia y por el punto (6,5) es de color celeste (recordar que está recta y la recta tangente son perpendiculares por eso coloqué el símbolo de ángulo recto en la intersección de ambas rectas)