Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen, halla la distancia entre dos puntos, el punto medio, determina el angulo de inclinación de la recta si: A(4,2) y B(5,5).
Respuestas a la pregunta
Respuestas: y=mx es la ecuación de las infinitas rectas que pasan por el origen. √10 es la distancia entre estos dos puntos. (4.5 , 3.5) es el punto medio. 71,5º es el ángulo de inclinación de esta recta.✔️
Explicación paso a paso:
La ecuación principal de una recta tiene la forma y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n es el valor de y cuando x = 0
Entonces si queremos que una recta pase por el origen (0,0) tenemos que hacer n=0. Así la ecuación principal de las infinitas rectas que pasan por el origen será : y = mx , donde m será la pendiente de cada una de las infinitas rectas que pasan por el origen.
Respuesta 1: y = mx es la ecuación de las infinitas rectas que pasan por el origen.✔️
Si tenemos dos puntos A(x₁, y₁) = (4,2) y B(x₂, y₂) = (5,5)
Estos puntos los ubicamos en el plano cartesiano, así si consideramos los segmentos x₂-x₁ y y₂-y₁ estos formarán los catetos de un triángulo rectángulo donde la distancia entre los puntos es la hipotenusa.
Así podemos aplicar el teorema de Pitágoras
D² = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²
D² = (5-4)² + (5-2)² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = √10
Respuesta 2: √10 es la distancia entre estos dos puntos.✔️
Y el punto medio entre esos dos puntos tendrá de abscisa, la abscisa del punto A + 1/2 de la diferencia de abscisas y de ordenada, la ordenada del punto A + 1/2 de la diferencia de ordenadas.
Pmedio = [x₁+(x₂-x₁)/2, y₁+(y₂-y₁)/2] = (4+0.5 , 2+1.5) = (4.5 , 3.5)
Respuesta 3: (4.5 , 3.5) es el punto medio.✔️
La pendiente de esa recta que pasa por dos puntos se calcula como la tangente de la curva entre esos dos puntos:
Tan= diferencia de ordenadas/diferencia de abscisas
Tan = y₂-y₁/x₂-x₁
Consideremos un tercer punto de esa recta P(x, y)
La tangente de la curva entre ese punto y uno de los dos que habíamos considerado sería:
Tan₁= diferencia de ordenadas/diferencia de abscisas
Tan₁ = y-y₁/x-x₁
Como los tres puntos están en la misma recta su pendiente tiene que ser igual en todos los puntos pertenecientes a la recta:
Tan = Tan₁
y₂-y₁/x₂-x₁ = y-y₁/x-x₁
Sustituimos valores conocidos: A(x₁,y₁)=(4,2) y B(x₂,y₂)=(5,5)
5-2/5-4 = y-2/x-4
Operamos:
3/1 = y-2/x-4
3(x-4) = y-2
3x-12 = y-2
y = 3x-12+2
y = 3x - 10 , esta es la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos
La pendiente de esta recta es m = 3
y el ángulo de inclinación es arctan(3) = 71,5º
Respuesta 4: 71,5º es el ángulo de inclinación de esta recta.✔️
Verificar:
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Sustituyendo en la ecuación de la recta las coordenadas de los puntos tienen que satisfacer la ecuación:
y = 3x - 10
A(x₁,y₁)=(4,2)
2 = 3·4 -10 = 12 - 10 = 2 , punto A✔️ está en la recta
B(x₂,y₂)=(5,5)
5 = 3·5 - 10 = 15 -10 = 5 punto B✔️ está en la recta
