Question

Determine la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los puntos (1;1), (1;11) y sus vértices los los puntos (1;3), (1;9)

Answer 1

Foco 1(1 , 1); Foco 2 (1 , 11)

Vertice 1(1 , 3); Verice 2 (1 , 9)

En centro de la hiperbola va a hacer el punto medio entre los Vertices

Xm = (X1 + X2)/2   X1 = 1; X2 = 2

Xm = (1 + 1)/2 = 2/2 = 1; Xm = 1

Ym = (Y1 + Y2)/2  Y1 = 3;  Y2 = 9

Ym = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6; Ym = 6

El centro de la hiperbola este en el punto: (1 , 6)

Como vemos se abre paralelo al eje Y

a = Distancia del centro al vertice: (9 - 6) = 3

c = Distancia del centro al foco: (11 - 6) = 5

c² = a² + b²:

5² = 3² + b²

b² = 5² - 3²

b² = 25 - 9

b² = 16

b = √16 = 4

b = 4

Ecuacion canonica de la hiperbola con eje paralelo a Y

(Y - k)²/a²  - (X - h)²/b² = 1

Donde (h , k) es el centro: (1 , 6)

[(Y - 6)²/9] - [(X - 1)²/16] = 1 (Ecuacion canonica de la hiperbola)

[16(Y - 6)² - 9(X - 1)²]/144  = 1

16(Y - 6)² - 9(X - 1)² = 144

16(Y² - 12Y + 36) - 9(X² - 2X + 1) = 144

16Y² - 192Y + 576 - 9X² + 18X - 9 = 144

16Y² - 9X² - 192Y + 18X + 567 - 144 = 0

16Y² - 9X² - 192Y + 18X + 423 = 0 (Ecuacion General de la Hiperbola)

Te anexo la grafica