Question

Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra en el punto de corte de las siguientes rectas 5x-y=3 y la recta -2x+4y=-12 y cuyo radio es 5.​

Answer 1

Respuesta:

$x^2 + (y + 3)^2 = 25$

Explicación paso a paso:

La ecuación de la circunferencia es:

$(x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 = r^2$

Donde

$(C_x, C_y)$ es el centro de la circunferencia

$r$ es el radio de la circunferencia, que nos han dado. r = 5

El centro es el punto de corte de dos rectas, por tanto, la solución del sistema de ecuaciones:

$\left \{ {{5x - y = 3} \atop {-2x + 4y = -12}} \right.$

De la primera ecuación: $y = 5x - 3$

Sustituyendo en la segunda

$-2x + 4(5x - 3) = -12 ==> -2x + 20x - 12 = -12 \\(-2 + 20)x = -12 + 12 ==> 18x = 0$

Así que, el centro está en el eje y, con x = 0.

Ahora sustituyendo en la primera ecuación del sistema:

$5.0x - y = 3 ==> y = -3$

El centro $(C_x, C_y)$ es (0, -3)

En la ecuación general de la circunferencia

$(x - 0)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2\\x^2 + (y+3)^2 = 25$