Question

Determine el volumen del sólido resultante al hacer girar la región comprendida entre la parábola x=y^2 + 1y la recta x = 3 alrededor de la recta x=3
AYUDA POR FIS, VENDO MI ALMA

Answer 1

El volumen del sólido revolución es de aproximadamente 63.8 u³.

Utilizando el método de los discos podemos calcular el volumen del sólido como:

${\displaystyle V=\pi\int\limits^a_b {[f(y)-g(y)]^2} \, dy }$

Siendo g(y) = 3  y f(y) = y² + y. Evaluando:

${\displaystyle V=\pi\int\limits^a_b {(y^2+y-3)^2} \, dy }$

Debemos calcular los límites de integración de y resolviendo:

x = y² + y   para x = 3

3 =  y² + y  

y² + y  - 3 = 0

$y_{1,\:2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot \:1\cdot \left(-3\right)}}{2\cdot \:1}$

$y_{1,\:2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{13}}{2\cdot \:1}$

$y_1=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2},\:y_2=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}$

Por tanto tenemos:

$a=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2},\:b=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}$

Resolviendo la integral:

${\displaystyle V = \pi \int _{\frac{-\sqrt{13}-1}{2}}^{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}\left(\left(y^2+y\right)-3\right)^2 dy}$

${\displaystyle V = \pi \int _{\frac{-\sqrt{13}-1}{2}}^{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}(y^4+2y^3-5y^2-6y+9) dy}$

${\displaystyle V =\left[ \pi \left(\frac{y^5}{5}+\frac{y^4}{2}-\frac{5y^3}{3}-3y^2+9y\right)\right]^{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}_{\frac{-\sqrt{13}-1}{2}}}$

$V = \pi \left(12\sqrt{13}-\dfrac{191\sqrt{13}}{30}\right)\approx\:63.80974$