Matemáticas, pregunta formulada por benjawena33, hace 22 días

Determine el valor de k para que la distancia de la recta 8x+15y+k=0 al punto (3,4) se igual a 10cm

Respuestas a la pregunta

Contestado por roycroos

【Rpta.】El valor de k puede tomar dos valores 86 y 254.

${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que la distancia de un punto a una recta está definido como:

$\boxed{\boldsymbol{\mathrm{d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}}}$

Siendo la recta Ax + By + C = 0 y el punto P = (m,n)

Extraemos los datos del enunciado

$\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:d= 10}$

$\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:A = \big(\underbrace{3}_{m},\underbrace{4}_{n}\big)}$

$\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:\underbrace{8}_{A}x + \underbrace{15}_{B}y + \underbrace{k}_{C} = 0}$

Reemplazamos estos datos en la fórmula

$\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\\\mathsf{10 = \cfrac{|(8)(3) + (15)(4) + (k)|}{\sqrt{(8)^2 + (15)^2}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|24 + 60 + k|}{\sqrt{64 + 225}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{\sqrt{289}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{17}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|84+k|=170}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:84+k = \pm170}$

$\mathsf{k=170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=86}}}$ $\mathsf{k=-170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=-254}}}$

En las imágenes puedes ver las gráficas comprobando los dos valores de k.

$\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{4 pt}\displaystyle \fbox{C\kern-6.5pt O}\hspace{4 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{4 pt} \displaystyle \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{4pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{4pt}\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$