Question

Determine el valor de k para que el sistema
(k + 3)x + y = 2
x + (k − 3)y = 4

Answer 1

Hola !

Para que sea compatible determinado, tenemos que imponer que,

rango(A)=rango(A*)=2

donde,

$A = \left[\begin{array}{ccc}k+3&1\\1&k-3\end{array}\right]$

$A^* = \left[\begin{array}{ccc}k+3&1&2\\1&k-3&4\end{array}\right]$

Por Rouché-Fröbenius,

rango(A) = 2 $\Longleftrightarrow$ det(A) $\neq$ 0

Entonces,

$det(A) = (k+3)(k-3)-1 = k^2-3k+3k-9-1 = k^2-1\\det(A) \neq 0 \Longleftrightarrow k^2-1\neq0 \Longleftrightarrow k \neq \pm 1$

Entonces, si k es distinto de -1 o de 1, será compatible determinado. En otro caso será compatible indeterminado o incompatible, según el caso.

Saludos ! :)