Determine el valor de a para que la función sea continua: f(x)={ax2 3x−1,x2−13x 1√−2,x≤1x>1.
Respuestas a la pregunta
El valor de a para que la función sea continua es: -14 – √2
Como tenemos una función a trozos las posibles continuidades se presentan donde las funciones cambian, en este caso nuestro punto de estudio será igual a 1.
Para que f(x) sea continua se debe cumplir:
\lim f(x)_{x \to \ 1 } = f(1)
Evaluamos f(1):
f(x) = ax² + 3x − 1
Para x ≤ 1
f(1) = a*(1)² + 3*1− 1
f(1) = a+2
f(x) = x² – 13x – √2
Para x > 1
Ahora calculamos el \lim f(x)_{x \to \ 1 }. Para que el límite exista, los límites laterales deben ser iguales. Calculamos límites laterales:
Límite por la izquierda:
L_{1} = \lim f(x)_{x \to \ 1^{-} }
f(1) = a*(1)² + 3*1− 1
f(1) = a+2
Ahora calculamos límite por la derecha:
L_{1} = \lim f(x)_{x \to \ 1^{+} }
f(x) = x² – 13x – √2
f(1) = 1² – 13(1) – √2
f(1) = -12 -√2
Igualamos y despejamos a:
a+2 = -12 -√2
a = -12 -√2 – 2
a = -14 – √2
Para que la función sea continua a = -14 – √2