Determine el término de lugar 21 de una P.A. si se cumple: a5 + a10 = 99 a3 + a6 = 57
Respuestas a la pregunta
PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A.)
Ejercicio
Curioso ejercicio.
Chapó para el que lo ha ideado.
Hay que conocer bien la forma en que se comporta una progresión aritmética que es una sucesión de números relacionados entre sí por una cantidad fija, llamada diferencia "d" entre términos consecutivos de tal modo que cada término se obtiene de añadir esa cantidad al término anterior.
Para llegar a la solución es imprescindible conocer esa diferencia "d" entre términos consecutivos y para ello hay que conseguir expresar todos los términos que nos dan (a₅ a₁₀ a₃ a₆) en función de uno de ellos para, a continuación, plantear un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Yo elijo el 5º término (a₅) y para hacer lo comentado desarrollo la progresión de este modo:
Partiendo del 5º término, (a₅) puedo afirmar lo siguiente:
- a₆ = a₅ + d
- a₇ = a₅ + d + d = a₅ + 2d
- a₈ = a₅ + d + d + d = a₅ + 3d
- a₉ = a₅ + d + d + d + d = a₅ + 4d
- a₁₀ = a₅ + d + d + d + d + d = a₅ + 5d
Así pues se puede expresar esto:
a₁₀ = a₅ + 5d
Y sustituyendo a₁₀ por ese valor, podemos plantear esta ecuación con dos incógnitas, resaltada en negrita:
a₅ + (a₅ + 5d) = 2a₅ + 5d = 99
Por el mismo razonamiento llegaremos a la otra ecuación partiendo de la otra igualdad que nos da el ejercicio: a₃ + a₆ = 57
a₃ = a₄ - d
a₄ = a₅ - d ... donde sustituyendo a₄ ...
a₃ = a₅ - d - d = a₅ - 2d
Lo mismo con a₆ ...
a₆ = a₅ + d
Sustituyo a₃ y a₆ por las expresiones subrayadas y se forma la segunda ecuación:
(a₅ - 2d) + (a₅ + d) = 57 ... reduciendo términos semejantes...
2a₅ - d = 57
Lo que he hecho con todo esto es conseguir expresiones donde solo tenga dos incógnitas que son "a₅" y "d"
El sistema de ecuaciones a resolver es:
2a₅ + 5d = 99
2a₅ - d = 57
Resuelvo por reducción multiplicando la segunda ecuación por (-1):
(2a₅ - d = 57) × (-1) -------> -2a₅ + d = -57
Efectúo la suma:
2a₅ + 5d = 99
-2a₅ + d = -57
0 + 6d = 42
d = 42 / 6 = 7
Así he conseguido saber la diferencia "d" entre términos consecutivos.
Ahora calculo el valor de a₅ sustituyendo el valor de "d" en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la segunda:
2a₅ - 7 = 57
2a₅ = 57 + 7
a₅ = 64 ÷ 2 = 32
Conocida la diferencia y el valor del quinto término, acudo a la fórmula general de las PA para saber el valor del primer término que luego aplicaré de nuevo para saber el valor del 21º término que me pide.
aₙ = a₁ + (n-1) × d (fórmula general de las PA)
a₅ = a₁ + (5-1) × 7
32 = a₁ + 28
a₁ = a₅ - 6d = 32 - 28 = 4
a₁ = 4
Vuelvo a aplicar la fórmula sabiendo este valor y resuelvo:
a₂₁ = a₁ + (n-1) × d
a₂₁ = 4 + (21-1) × 7
a₂₁ = 4 + 140