Question

Determine el radio de la circunferencia cuyo centro es el origen y pasa por el punto (2,3)

Answer 1

El radio de la circunferencia es de √13 unidades expresado en forma exacta o de aproximadamente 3.61 unidades expresado en forma decimal  

Solución

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

Para este ejercicio conocemos que la circunferencia tiene centro en el origen, por tanto

$\bold {C = (h, k ) = (0,0 )}$

Si el centro de la circunferencia coincide con el eje de coordenadas, la ecuación queda reducida a:  

$\large\boxed {\bold { x^2+y^2=r^{2} }}$

Hallamos el radio de la circunferencia que pasa por C (0,0) y el punto A (2,3)

Empleamos la fórmula de la distancia entre puntos para hallar el radio

$\large\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Sustituimos los valores de los puntos en la fórmula de la distancia

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{( 2 -0 )^{2} +( 3-0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{2^{2} +3^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{4 +9 } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{13 } } }$

En forma exacta:

$\large\boxed{ \bold { radio = \sqrt{13 } \ unidades } }$

En forma decimal:

$\large\boxed{ \bold { radio \approx 3.61\ unidades } }$

Luego el radio de la circunferencia es de √13 unidades expresado en forma exacta o de aproximadamente 3.61 unidades expresado en forma decimal  

Conociendo el radio podemos determinar la ecuación de la circunferencia

$\large\boxed {\bold { x^2+y^2=r^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^2+y^2=\sqrt{(13) } ^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { x^2+y^2=13 }}$

Concluyendo que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro