Question

Determine el punto P(x:y) en el primer cuadrante tal que con los puntos O(0:0) y Q(-3;4) forme un triángulo equilátero.​

Answer 1

Un triángulo equilátero es aquel en el que los tres lados son iguales y además como corolario tras aplicar el teorema del seno los tres ángulos son iguales. En el plano la distancia de un punto a otro es:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Así la distancia entre el punto Q(-3,4) y el origen es:

$d=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2}=5$

Ahora el otro punto que necesito está en la intersección entre la circunferencia con radio 5 centrada en el origen y la circunferencia centrada en Q y de radio 5. Pero puedo aplicar otro método sabiendo que en un triángulo equilátero todos los ángulos miden 60°. Pues bien, el segmento OQ forma con el eje positivo horizontal un ángulo:

$\alpha=arctg(\frac{4}{-3})=126,9\°$

Con lo que ahora necesito encontrar un segmento OP que con el eje positivo horizontal forme un ángulo de $\beta=\alpha-60\°=66,9\°$, y de longitud 5:

$x_p=5.cos(66,9\°)=5.0,39=1,96$

$y_p=5.sen(66,9\°)=5.0,92=4,6$

Con lo que el punto P que con O y Q forma un triángulo equilátero es (1,96;4,6)