Determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades, considere Re =R .
p(x): 2 + 4x < 6x + 7
q(x): 2 < 2x - 2 ≤ 12
r(x): 8 - 3x ≤ 2x - 7 < x – 13
p(x): 2x/(x-4)≤8
n(x):2x^3-5x^2+2x≤0
p(x): (x^2-3x-6)/(13x-x^2-42)≥0
q(x): (x^2-3x-6)/(x^2-1)≤1
Respuestas a la pregunta
Determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades, considere R = R .
p(x): 2 + 4x < 6x + 7
q(x): 2 < 2x - 2 ≤ 12
r(x): 8 - 3x ≤ 2x - 7 < x – 13
p(x): 2x/(x-4) ≤ 8
n(x): 2x³ -5x² + 2x ≤ 0
p(x): (x² -3x -6)/(13x -x² - 42) ≥ 0
q(x): (x² -3x - 6)/(x² - 1) ≤ 1
Hola!!!!
Dejo 3 archivos con Todas las resoluciones paso a paso y con los esquema gráficos correspondientes.
Saludos!!!
El conjunto de la verdad: es el conjunto o intervalo para los cual una expresión o desigualdad es valida. Resolvemos cada problema dando el intervalo donde la expresión es dada
Problema #1:
p(x): 2 + 4x < 6x + 7: es una desigualdad donde tenemos una sola variable y una sola desigualdad, entonces despejamos el valor de "x" como la desigualdad es estricta entonces el resultado quedara como un intervalo abierto. Despejamos:
2 + 4x < 6x + 7
⇒ 2 - 7 < 6x - 4x = 2x
⇒ -5 < 2x
⇒ -5/2 < x
⇒ x > -2.5, x ∈ (-2.5,∞)
En la recta real:
(*********************************************************>
-∞__________₀____________________________________∞
-2.5
Problema #2:
q(x): 2 < 2x - 2 ≤ 12: es dos desigualdades donde tenemos una sola variable, entonces despejamos el valor de "x" en ambas desigualdades, vemos que en una de ellas es estricta y la otra no. Despejamos:
2 < 2x - 2 ≤ 12
⇒4 < 2x ≤ 14
⇒ 2 < x ≤ 7 x ∈ (2,7)
En la recta real:
(************************|
-∞_________________₀______________·_____________________∞
2 7
Problema #3:
r(x): 8 - 3x ≤ 2x - 7 < x – 13 es dos desigualdades donde tenemos una sola variable, entonces despejamos el valor de "x" en ambas desigualdades, vemos que en una de ellas es estricta y la otra no. Despejamos:
8 - 3x ≤ 2x - 7 < x – 13
8 - 3x + 7 ≤ 2x < x – 13 + 7
15 - 3x ≤ 2x < x - 6
15 - 3x ≤ 2x
15 ≤ 5x
3 ≤ x
2x < x - 6
x < - 6
Pero obtenemos que 3 ≤ x < - 6, esto nunca ocurre. Entonces no tiene solución
Problema #4:
p(x): 2x/(x-4) ≤ 8 divido entre 2
x/(x-4)≤ 4
Si x - 4 > 0, x > 4:
x ≤ 4*(x - 4)
x ≤ 4* x - 16
16 ≤ 3* x
16/3 ≤ x
x ∈ [16/3, ∞)
Si x - 4 < 0, x < 4:
x ≥ 4*(x - 4)
x ≥ 4* x - 16
16 ≥3* x
16/3 ≥ x
Entonces (-∞,4)
(-∞,4) U [16/3, ∞)
En la recta real:
****************************) |***********************************
-∞_________________₀______________·_____________________∞
4 16/3
Problema #5: como solo debemos ver el signo entonces factorizamos hasta obtener las raíces y obtener el signo por ley de signo, como es menor o igual incluimos los extremos para la igualdad.
n(x):2x³- 5x² + 2x ≤ 0
⇒ x*(2x² - 5x + 2) ≤ 0
⇒ 2*x*(x² - 2.5x + 1) ≤ 0
⇒x*(x - 0.5)*(x - 2) ≤ 0
Expresiones - ∞ 0 0.5 2 ∞
x - + + +
(x - 0.5) - - + +
(x - 2) - - - +
x*(x - 0.5)*(x - 2) - + - +
x ∈ (-∞,0] U [0.5,2]
Problema #6: como solo debemos ver el signo entonces factorizamos hasta obtener las raíces y obtener el signo por ley de signo, como es mayor o igual incluimos los extremos para la igualdad.
p(x): (x² -3x -6)/(13x -x² - 42) ≥ 0
(x - (3-√33)/2)*(x - (3+√33)/2)/(-1*(x² - 13x + 42)) ≥ 0
(x - (3-√33)/2)*(x - (3+√33)/2)/(-1*(x -6)*(X - 7)) ≥ 0
(x - (3-√33)/2)*(x - (3+√33)/2)/(x -6)*(x - 7)) ≤ 0
Aproximamos las raíces para mayor facilidad de calculo: pero debemos tomar en cuenta que las raíces son las dadas en el paso anterior
Expresiones -∞ -1.37 4.37 6 7 ∞
x + 1.37 - + + + +
x - 4.37 - - + + +
(x - 6) - - - + +
(x - 7) - - - - +
Total: + - + - +
x ∈ [-1.37,4.37] U [6,7]
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