Determine el centro, radio y longitud de la circunferencia:9x2 9y2−36x−6y 1=0.
Respuestas a la pregunta
Analizando la circunferencia que tiene la siguiente ecuación: 9x² + 9y² - 36x - 6y + 1 = 0, tenemos que:
- El centro es el punto C(2, 1/3) el radio es r = 2.
- La longitud de la circunferencia es de 12.56.
¿Cómo es la ecuación canónica de una circunferencia?
La ecuación canónica tiene la siguiente forma:
(x - h)² + (y - k)² = r²
Donde:
- El punto (h, k) es el centro
- r es el radio
Resolución del problema
- Paso 1: obtención de la ecuación canónica
Inicialmente, tenemos la siguiente ecuación de una circunferencia:
9x² + 9y² - 36x - 6y + 1 = 0
Ahora, procedemos a llevar la misma a su forma canónica, primero, reescribimos la expresión:
9x² + 9y² - 36x - 6y + 1 = 0
(9x² - 36x) + (9y² - 6y) + 1 = 0
9·(x² - 4x) + 9·(y² - 2y/3) + 1 = 0
(x² - 4x) + (y² - 2y/3) + 1/9 = 0
Completamos cuadrado en cada expresión dentro de paréntesis y simplificamos:
(x² - 4x) + (y² - 2y/3) + 1/9 = 0
((x - 2)² - 4) + ((y - 1/3)² - 1/9) + 1/9 = 0
(x - 2)² + (y - 1/3)² - 4 - 1/9 + 1/9 = 0
(x - 2)² + (y - 1/3)² - 4 = 0
(x - 2)² + (y - 1/3)² = 4
(x - 2)² + (y - 1/3)² = 2² ⇒ ecuación canónica
- Paso 2: obtención del centro y radio
La ecuación canónica de la circunferencia es:
(x - 2)² + (y - 1/3)² = 2²
A partir de esta, podemos decir que:
- El centro es C(2, 1/3)
- El radio es r = 2
- Paso 3: cálculo de la longitud
Teniendo el radio, procedemos a buscar la longitud:
P = 2πr
P = 2π(2)
P = 12.56 u
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