Question

Determine el ángulo de inclinación con que se debe lanzar una pelota para lograr un alcance de 85 m, si sale disparada con una velocidad de 25 m sobre segundo

Answer 1

Para que la pelota tenga un alcance de 85 metros con una velocidad inicial de 25 metros por segundo, debe ser lanzada con un ángulo de 1,53°.

Explicación:

Para resolver este cálculo podemos combinar las ecuaciones horarias del tiro oblícuo para obtener la ecuación espacial de la trayectoria. Tenemos pues:

$y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\\x=x_0+v_{0x}t$

Para simplificar los cálculos vamos a suponer que la pelota parte de la posición (0,0), nos queda:

$y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\\x=v_{0x}t$

De la segunda ecuación despejamos el tiempo:

$t=\frac{x}{v_{0x}}\\\\y=v_{0y}\frac{x}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{0x}})^2$

Tenemos que:

$v_{0x}=v_0.cos(\theta)\\v_{0y}=v_0.sen(\theta)$

Por lo que queda:

$y=x.v_0.tan(\theta)-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_{0}^2.cos^2(\theta)}$

El alcance de la pelota lo tendremos cuando la altura sea 0, es decir sea y=0:

$\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_{0}^2.cos^2(\theta)}=x.v_0.tan(\theta)\\\\\frac{1}{2}g\frac{x}{v_{0}^2.cos^2(\theta)}=v_0.tan(\theta)\\\\\frac{1}{2}gx=v_0^3.tan(\theta)cos^2(\theta)\\\\\frac{1}{2}gx=v_0^3.sen(\theta)cos(\theta)=v_0^3.\frac{sen(2\theta)}{2}$

Ahora despejamos el ángulo de elevación:

$gx=v_0^3.sen(2\theta)\\\\\theta=\frac{1}{2}arcsen(\frac{gx}{v_0^3})=\frac{1}{2}arcsen(\frac{9,81\frac{m}{s}.85m}{(25\frac{m}{s})^3})=1,53\°$