Question

Determine de la siguiente función racional:
$g(x)=\frac{x^2+x-12}{x-2}$

a) Intersecciones con los ejes X e Y.
b) Ecuaciones de las Asíntotas.
c) Tabule y bosqueje su gráfica

Answer 1

Una función racional es una función de la forma

                                     $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son funciones polinomiales. Suponemos que P(x) y Q(x) no tienen factor en común.

Para determinar las asíntotas de funciones racionales debes seguir lo siguiente:

Sea r la función racional

$r(x)=\frac{a_{n} x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} +.........+a_{1}x+ a_{0}   }{b_{m} x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} +.........+b_{1}x+ b_{0}   }$

1. Las asíntotas verticales de r son las rectas x a, donde a es un cero del  denominador.
2. (a) Si n< m, entonces r tiene asíntota horizontal y= 0.

        (b) Si n= m, entonces r tiene asíntota horizontal $y=\frac{a_{n} }{b_{m} }$

        (c) Si n >m, entonces r no tiene asíntota horizontal.

TRAZADO DE GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES

1. Factorizar. Factorice el numerador y denominador.
2. Puntos de intersección. Encuentre los puntos de intersección x al determinar  los ceros del numerador, así como los puntos de intersección y a partir del valor  de la función en x=0.
3. Asíntotas verticales. Encuentre las asíntotas verticales al determinar los ceros  del denominador y, a continuación, vea si y → ∞ o y → -∞  en cada lado de cada  asíntota vertical mediante el uso de valores de prueba.
4. Asíntota horizontal. Encuentre la asíntota horizontal (si la hay) usando el procedimiento  descrito anteriormente.
5. Trazar la gráfica. Grafique la información dada por los primeros cuatro pasos.

En este caso tu función g(x) presenta asintota oblicua y no tiene asintota horizontal. Para determinar la asintota oblicua se debe llevar a la siguiente expresión:

Si r(x)=P(x)/Q(x) es una función racional en la que el grado del numerador es uno más que  el grado del denominador, podemos usar el Algoritmo de división para expresar la función  en la forma:

$r(x)=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$

Donde la función de la asintota oblicua es: ax+b

Resolviendo:

$g(x)=\frac{x^2+x-12}{x-2}$

a) Intersecciones con los ejes X e Y.

La intersección con el eje x es en (3,0) y (-4,0)

La intersección con el eje y es en (0,6)

b) Ecuaciones de las Asíntotas.

Las asíntotas verticales se presentan donde el denominador es 0, es

decir, donde la función no está definida. Por lo tanto la asintota vertical es en x=2.

En cuanto a la asintota horizontal, tenemos en caso en que n>m, es decir que el exponente del numerador es mayor que el del denominador. Por lo tanto no tiene asintota horizontal, es decir puede tener asintota oblicua. Para determinarla se procede a calcular la división de polinomio:

x^2   +   x    -12  Ιx   -2

-(x^2 - 2x)           x +3

  0    +3x   -12

        -(3x-    6)

           0    -6

Se arma la funcion:

g(x)=x+3-$\frac{6}{x-2}$

Por lo tanto la asintota oblicua es x+3

c) bosqueje su gráfica

Para observar la grafica observar la imagen.