Question

determinas las coordenadas de u y v respecto de la base canonica​

Answer 1

En álgebra lineal, sea un espacio vectorial sobre un cuerpo de escalares
R
{\displaystyle \mathbb {R} } o
C
{\displaystyle \mathbb {C} }, la base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes cuyo número coincide con la dimensión del propio espacio vectorial.


Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.
De entre las (infinitas) bases existentes, la base canónica está normalizada, es decir, los módulos de los vectores son unitarios, o lo que es lo mismo, valen una unidad métrica según el sistema de referencias utilizado.

Además, en geometría euclidiana, los vectores de la base se fijan a un punto de aplicación común, que es el punto de origen del sistema de referencia o punto cero.

Todas estas características hacen que la base canónica sea única para cada espacio vectorial.

Utilizando el operador interno aditivo (adición de vectores) y operador externo producto (producto de un escalar por un vector) característicos de todo espacio vectorial, generan combinaciones lineales de la siguiente forma:

Sean λ , μ , ν (se leen respectivamente: lambda, mu, nu) - una forma de representar a tres números cualesquiera (o escalares) reales o complejos.

Sea la base canónica para el espacio euclídeo
B
=
{
i
,
j
,
k
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{i,j,k\}} para el espacio
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, siendo sus coordenadas referidas en ese espacio:
{
i
(
1
,
0
,
0
)
;
j
(
0
,
1
,
0
)
;
k
(
0
,
0
,
1
)
}
{\displaystyle \{i(1,0,0);j(0,1,0);k(0,0,1)\}\,}

Un vector cualquiera
a
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}} puede ser representado a través de una combinación lineal:

a
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
=
λ
i
+
μ
j
+
ν
k
{\displaystyle a(a_{x},a_{y},a_{z})=\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} +\nu \mathbf {k} }
Ejemplo
v
(
−
1
,
5
,
3
)
=
−
i
+
5
j
+
3
k
{\displaystyle v(-1,5,3)=-\mathbf {i} +5\mathbf {j} +3\mathbf {k} }