Question

Determinar una función f(x) que cumpla las siguientes condiciones

F(x) es una función cuadrática
F(x+2) = F(x) +x+2
F(2) =2

Answer 1

Buenas tardes,

Dado que la función a determinar es cuadrática, ésta tendrá la forma :

$f(x) = ax^2 + bx +c$

Pues bien, debemos encontrar los coeficientes a,b y c de la función. Para encontrar 3 incógnitas, al menos debemos tener 3 ecuaciones para hallarlas. Como dato tenemos que :

1. f(2) = 2
2. f(x+2) = f(x) + x + 2

Nos dan un dato directamente, que f(2) = 2 y nos dan más información acerca de la función para encontrar los otros datos. Para obtener los otros dos datos, asumamos primeramente que x = 0, sustituyendo en la condición 2. :

f(0+2) = f(0) + 0 + 2

f(2) = f(0) + 2

Despejando f(0) :

f(0) = f(2) - 2

De la condición 1. , sabemos que f(2) = 2, sustituyendo esto:

f(0) = 2 - 2

f(0) = 0

Con este dato, podemos tomar otro, tomemos la imagen de x = -2 , otra vez utilizando la condición 2. :

f(-2 + 2) = f(-2) + (-2) + 2

f(0) = f(-2)

f(-2) = 0

Con estos datos ahora evaluemos los datos, con f(0) podemos encontrar el valor de c directamente ya que :

$f(x) = ax^2 + bx +c\\\\f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\\\\f(0) = c \\\\\therefore \boxed{\textbf{c = 0}}$

Ahora la función a encontrar es

$f(x) = ax^2 + bx$

Utilizamos los 2 datos restantes para plantear las siguientes ecuaciones:

$\left \{ {{f(2) = a \cdot (2)^2 + b \cdot 2} \atop {f(-2) = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2)} \right. \\\\\vdots\\\left \{ {{2 = 4a + 2b} \atop {0 = 4a -2b} \right.$

Resulta un sistema de 2 incógnitas y 2 ecuaciones, hay muchas formas de resolverlo, pero observando la forma que tienen, usaré el método de reducción. Con este método simplemente sumo las ecuaciones de tal forma que una incógnita sea reducida:

$+ \ \ {{2 = 4a + 2b} \atop {0 = 4a -2b} \right \\ \\\rightarrow 2 = 8a$

En consecuencia,

$\boxed{a = \frac{1}{4}}$

Con el valor de a, podemos utilizar una de ambas ecuaciones para determinar el valor de b, haciendo esto en la primera:

$2 = 4a + 2b \\\\2 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 2b \\ \\2 = 1 + 2b\\ \\2b = 1 \\\\\boxed{b = \frac{1}{2}}$

Obtenidos los coeficientes ya determinamos la función a buscar y por ende respuesta del ejercicio:

$\bigstar \boxed{\mathbf{f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}}}$

Cualquier duda en los comentarios,

Salu2.