Matemáticas, pregunta formulada por Eduwin1, hace 1 año

determinar si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendicular o de ninguno de estos.

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por Haiku

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Te voy a explicar el procedimiento y voy a resolver una de cada tipo, para que puedas resolver tú las demás.

Si tienes alguna duda pregunta.

La pendiente de una recta viene dada por el coeficiente de x, en la ecuación principal de la recta y =mx+n.

- Si las pendientes de 2 rectas tienen el mismo valor numérico y el mismo signo, ambas rectas son paralelas.
- Si las pendientes de 2 rectas son opuestas (distinto signo) e inversas ambas rectas son perpendiculares
- Si las pendientes de 2 rectas no cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores, son secantes, es decir, se cortan en un punto pero no son perpendiculares

31.
2x+3y = 6
3x-2y = 6

Debemos despejar y, para escribir la ecuación principal de la recta y=mx+n

$y= \frac{6-2x}{3}= 2- \frac{-2}{3}x$
$y= \frac{3x-6}{2}=\frac{3}{2}x-3$

Las pendientes de las rectas son -2/3, 3/2. Como vemos son inversas y opuestas, por tanto ambas rectas son perpendiculares.

33.
y = 2x+3
x = 2y+3 ⇒y = (1/2)x-3/2
Las pendientes de las rectas son 2, 1/2. Como vemos son inversas pero no opuestas, por tanto ambas rectas son secantes

34.
4x+2y = 1 ⇒ y = 2x+1/2
y = 2-2x

Las pendientes son 2, 2, tienen el mismo valor numérico y el mismo signo, por tanto son rectas paralelas.

Te adjunto imagen de su representaciones gráficas.

Adjuntos:

Contestado por rteran9

De acuerdo a los diferentes pares de rectas suministrados tenemos las siguientes respuestas en relación a si son paralelas, perpendiculares o ninguna de estas:

1. Si tenemos las siguientes ecuaciones correspondientes a dos rectas:

2x + 3y = 6

3x - 2y = 6

De la primera ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 2

y = 0 ⇒ x = 3

El vector director de la recta es:

v1 = (0; 2) - (3; 0)

v1 = (-3; 2)

De la segunda ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = -3

y = 0 ⇒ x = 2

El vector director de la recta es:

v2 = (0; -3) - (2; 0)

v2 = (-2; -3)

Al hacer el producto escalar de los vectores directores tenemos:

v1·v2 = 6 - 6 = 0

Como el producto escalar de los vectores directores es cero, las rectas son perpendiculares.

2. Para las ecuaciones correspondientes a dos rectas:

y = x

x + y = 1

De la primera ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 0

y = 1 ⇒ x = 1

El vector director de la recta es:

v1 = (0; 0) - (1; 1)

v1 = (-1; -1)

De la segunda ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 1

y = 0 ⇒ x = 1

El vector director de la recta es:

v2 = (0; 1) - (1; 0)

v2 = (-1; 1)

Al hacer el producto escalar de los vectores directores tenemos:

v1·v2 = 1 - 1 = 0

Como el producto escalar de los vectores directores es cero, las rectas son perpendiculares.

3. De acuerdo a las ecuaciones correspondientes a dos rectas:

y = 2x + 3

x = 2y + 3

De la primera ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 3

y = 0 ⇒ x = -3/2

El vector director de la recta es:

v1 = (0; 3) - (-3/2; 0)

v1 = (3/2; 3)

u1 = (0,45; 0,9)

De la segunda ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = -3/2

y = 0 ⇒ x = 3

El vector director de la recta es:

v2 = (0; -3/2) - (3; 0)

v2 = (-3; -3/2)

u2 = (-0,9; -0,45)

Al hacer el producto escalar de los vectores directores tenemos:

u1·u2 = -0,405 - 0,405 = - 0,81

Como el producto escalar de los vectores directores es diferente de cero, las rectas no son perpendiculares. Adicionalmente, como los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

4. Dadas las ecuaciones correspondientes a dos rectas:

4x + 2y = 1

y = 2 - 2x

De la primera ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 1/2

y = 0 ⇒ x = 1/4

El vector director de la recta es:

v1 = (0; 1/2) - (1/4; 0)

v1 = (-1/4; 1/2)

v1 = (-1 ; 2)

De la segunda ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 2

y = 0 ⇒ x = 1

El vector director de la recta es:

v2 = (0; 2) - (1; 0)

v2 = (-1; 2)

Como los vectores directores son proporcionales, entonces las rectas son paralelas.

5. De acuerdo a las ecuaciones de las rectas:

x = -2 - 3y

2x + 6y = 5

De la primera ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = -2/3

y = 0 ⇒ x = -2

El vector director de la recta es:

v1 = (0; -2/3) - (-2; 0)

v1 = (2; -2/3)

u1 = (0,95; -0,32)

De la segunda ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 5/6

y = 0 ⇒ x = 5/2

El vector director de la recta es:

v2 = (0; 5/6) - (5/2; 0)

v2 = (-5/2; 5/6)

u2 = (-0,95; 0,32)

Como los vectores directores son paralelos las rectas son paralelas.

6. Para las rectas dadas por las ecuaciones:

3x + 4y = 1

3x - 4y = 1

De la primera ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = 1/4

y = 0 ⇒ x = 1/3

El vector director de la recta es:

v1 = (0; 1/4) - (1/3; 0)

v1 = (-1/3; 1/4)

u1 = (-4/5; 3/5)

De la segunda ecuación tenemos:

x = 0 ⇒ y = -1/4

y = 0 ⇒ x = 1/3

El vector director de la recta es:

v2 = (0; -1/4) - (1/3; 0)

v2 = (-1/3; -1/4)

u2 = (-4/5; -3/5)

Al hacer el producto escalar de los vectores directores tenemos:

u1·u2 = 16/25 - 9/25 = 7/25

Como el producto escalar de los vectores directores es diferente de cero, las rectas no son perpendiculares y como los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

7. Para las siguientes ecuaciones de rectas:

y - 3 = 0

x + 5 = 0

Pueden escribirse como:

y = 3

x = - 5

Las rectas son perpendiculares ya que los vectores directores son (1; 0) y (0; 1) respectivamente.

8. Se tienen las ecuaciones de dos rectas:

2x - 5 = 0

3 - x = 0

Pueden escribirse como:

x = 5/2