Question

Determinar si la siguiente ecuación f(x)= -x²-1 es Sobreyectiva con proceso por favor

Answer 1

Solución: el rango no son los reales y la función no es sobreyectiva.

Explicación paso a paso:

Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del conjunto de salida. En esta caso el conjunto de salida y de llegada son los reales.

$f(x) = -x^{2} -1$

A simple vista, podemos observar que la función es siempre negativa. Pues  un número elevado al cuadrado es siempre positivo y al colocar el "-" adelante es siempre negativo, si además le restamos 1 continua siendo negativo.

Por lo tanto ningún número mayor a cero es imagen de la función y no es sobreyectiva.

Otra manera de demostrarlos es hallar el rango y debería de ser todos los reales para demostrar que es sobreyectiva:

Hacemos $y=f(x)$

Despejamos "x"

$x=\sqrt{-y-1} = \sqrt{-(y+1)}$

Intercambios x por y, y vemos que, la función:

$y=\sqrt{-(x+1)}$

No puede ser evaluando para x > -1, pues lo que esta dentro de la raíz no puede ser negativo. El rango de las función son todos los x pertenecientes a los reales tal que x<-1

Por lo tanto el rango no son los reales y la función no es sobreyectiva