Question

Determinar si la función: f(x) = x 3 es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva

Por favor agradeceria el ejercicio completo

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Funciones

$\textbf{Problema :}$

Determinar si la función $f_{(x)} = x^{3}$ es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva.

RESOLUCIÓN

Una función es inyectiva si $f_{(x_{1})} = f_{(x_{2})}$ entonces necesariamente $x_{1} = x_{2}$

Se puede determinar si una función es inyectiva con ayuda de su gráfica, trazando una recta horizontal, y esta debe cortar a la gráfica a lo más en un punto. Este es el método que usaremos, debido a que la gráfica de $f_{(x)} = x^{3}$ es muy conocida.

De la gráfica de $f_{(x)}$ podemos deducir que sin importar donde tracemos la recta horizontal esta solo cortará a la gráfica en un punto, por tanto es inyectiva.

Una función $F : A \to B$ es sobreyectiva si y solo si cada elemento $y \in B$ es imagen de al menos de un elemento $x \in A$ tal que $(x\ ;\ y) \in F$.

Es decir.

                                               $\boxed{Ran_{(F)} = B}$

Debido a que el problema no especifica el dominio de la función, asumiremos el dominio explícito es decir $Dom_{(f)} = \mathbb{R}$ y por ende $Ran_{(f)} = \mathbb{R}$ esto se puede apreciar mejor viendo la gráfica de la función, debido a que consideramos que se trata de una función real de variable real $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$  de donde se deduce que es sobreyectiva, ya que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

De los análisis anteriores, debido a que la función es efectivamente inyectiva y sobreyectiva, entonces es biyectiva.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La funci\'on es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva}}$