Question

Determinar si el polinomio Q(x) es divisor del polinomio P(x). Justificar adecuadamente cada respuesta.
a) P(x) = x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 2x − 24 Q(x) = x − 2

b) P(x) = x 4 + 2x 3 − x 2 − 4x + 2 Q(x) = x + 1

c) P(x) = x 3 + 2x 2 − 25x − 50 Q(x) = x − 5

d) P(x) = 2x 4 + 5x3 + 3x 2 + 8x + 12 Q(x) = x + 3/2

Answer 1

Antes de Resolver los problemas, primer debemos saber claramente, que es un divisor.

Un divisor es un numero que divide a otro, deja un cociente entero y no deja residuo. (Residuo = 0)

Ejemplo :  6 es divisor de 24?  Veamos  :

24   ÷ 6 =  cociente = 4  (No hay residuo)   ----> 6 si es divisor de 24.

Ejemplo 2 :

5 es divisor de 31?  Veamos :

32 ÷ 5 = cociente 6  (+ 2 de residuo.)  5 no es divisor de 31.

Espero que con esto haya quedado claro.

Como hallar el residuo en una division de polinomios?

La mayoría pensaría , primero divido el polinomio , luego hallo los valores de las variables, etc; pero existe un modo de hacerlo más eficiente, su nombre es ´´Teorema del Residuo , también llamada Teorema del resto´´

Esta formula solo funciona divisor es de primer grado (Polinomio lineal = El mayor índice de las variables es 1, no debe existir ningún otra variable con índice superior a 1)

Polinomio lineal o de primer grado :  $ax + b$   (El índice del ´´x´´ es 1)

Nota : ´´a´´  no puede ser cero ; ´´b´´ Puede ser cualquier numero incluido cero.

TEOREMA DEL RESTO :

El divisor se iguala a cero, y despejamos la variable ; aquella variable lo reemplazamos en el dividendo.

ejemplo :

Halla el resto de la división de : $3X^{3} + 4X^{2} - X + 6$   ÷  x -2

Aplicando el teorema del resto :

Igualamos el divisor a cero y despejamos la variable :

X -2 = 0  ---> x = 2    

Reemplazamos la variable en el dividendo :

$3X^{3} + 4X^{2} - X + 6$    ----->    $3(2)^{3} + 4(2)^{2} - (2) + 6$  

$3(2)^{3} + 4(2)^{2} - (2) + 6$      ----->   24 + 16 - 2 + 6  =   34

El Residuo de la división de  ´´$3X^{3} + 4X^{2} - X + 6$ ´´  entre  ´´x -2´´ es 34.

Una vez sabiendo esto, aplicamos el teorema del resto el problema :

a) P(x) = $X^{4} + 3X^{3} - 5X^{2} + 2X - 24$   ÷  Q(X) = X - 2

El problema dice que hallemos si el polinomio Q(x) es divisor , para ello aplicaremos el teorema del resto:

X -2 = 0 ---->  x = 2   (Lo reemplazamos en el dividendo)

a) P(x) = $X^{4} + 3X^{3} - 5X^{2} + 2X - 24$  

    P(x) = $(2)^{4} + 3(2)^{3} - 5(2)^{2} + 2(2) - 24$

    P(x) = $16 + 24 - 100 + 4 - 24$

     P(x) = 80   (El residuo sale 80, pero sabemos que para que el ´´Q(x)´´ sea divisor el residuo debería ser cero, por lo cual, el ´´Q(X) = X - 2´´ no es divisor de ´´P(x)´´

ASI MISMO SE DESARROLLAN LOS OTROS PROBLEMAS, NO los desarrollo, por que escribiría muchísimo, y casi nadie lo leería.