Question

Determinar mediante Gauss Jordan dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. (1,2,1) (2,1,0) (4,5,2). Recomendación ubicar las componentes de manera vertical.

Answer 1

Para que un grupo de vectores tengan independencia lineal, se debe cumplir que:


α1 * (1, 2, 1) + α2 * (2, 1, 0) + α3 * (4, 5, 2) = 0


Donde los escalares α1, α2 y α3 deben ser ceros para cumplir la ecuación


Representando como un sistema de ecuaciones se tiene:


  α1   + 2*α2 + 4α3 = 0
2α1   +    α2  + 5α3 = 0
  α1   +           + 2α3 = 0


Donde cada vector está representada sus componente en forma vertical


Ahora realizando el método de eliminación de Gauss Jordan, colocamos el arreglo matricial:


| 1   2   4| 0
| 2   1   5| 0
| 1   0   2| 0


Para la eliminación de Gauss Jordan, debemos obtener la matriz identidad la cual es:
 
 
| 1  0  0| 0
| 0  1  0| 0
| 0  0  1| 0


Entonces debemos ir realizando ciertas sumas en las filas para poder obtener la matriz identidad:


Multiplicamos por (-2) a la 1era fila y se la sumamos a la segunda. Simultáneamente mútiplicamos por (-1) a la 1era fila y se la sumamos a la 3era fila:


 |   1    2    4 | 0
 |   0   -3   -3 | 0
 |   0   -2   -2 | 0


Multiplicamos por (-1/3) la segunda fila:


|   1   2   4 | 0
|   0   1   1 | 0
|   0  -2  -2 | 0


Multiplicamos por 2 la segunda fila y se la sumamos a la 3era fila


|   1   2   4  | 0
|   0   1   1  | 0
|   0   0   0  | 0


Al tener una fila solo de ceros, el sistema es incompatible y no tiene solución, por lo tanto, los vectores no son linealmente independientes.


Sabemos que para que un grupo de vectores sea linealmente independientes, su determinante deber ser distinto de cero.


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