Question

Determinar m y n para que x⁴-3x³ + MX +n. Sea divisible por x²-2x+4

Answer 1

Para que el polinomio de grado 4 sea divisible por el de grado 2 dado, tiene que ser m=8 y n=-24

¿Cómo hacer que el polinomio sea divisible por otro dado?

Para que el polinomio $x^4-3x^3+mx+n$ de grado 4 sea divisible por otro polinomio de grado 2 $x^2-2x+4$, podemos plantear al primer polinomio como el producto entre dos polinomios de segundo grado, uno de ellos, se asume como polinomio mónico, y es desconocido:

$(x^2-2x+4)(x^2+bx+c)=x^4-3x^3+mx+n$

Podemos aplicar en el primer miembro la propiedad distributiva para empezar a comparar los polinomios de ambos miembros y hallar una relación entre los coeficientes:

$x^4+bx^3+cx^2-2x^3-2bx^2-2cx+4x^2+4bx+4c=x^4-3x^3+mx+n\\\\(b-2)x^3+(c-2b+4)x^2+(4b-2c)x+4c=-3x^3+mx+n$

Con esto podemos operar para hallar los valores de 'm' y de 'n':

$b-2=-3\\b=-1\\\\c-2b+4=0\\c-2(-1)+4=0\\c=-6$

$m=4b-2c=4.(-1)-2(-6)=8\\n=4c=4(-6)=-24$

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