Question

Determinar "m+n" dr tal manera que el numeral 34m5n sea lo menor posible a ademas sea divisible por 36 si de sabe que "m" es diferente de cero

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Divisibilidad

$\textbf{Problema :}$

Determinar $m+n$ de tal manera que el numeral $\overline{34\textrm{m}5\textrm{n}}$ sea el menor posible y además dicho numeral sea divisible por $36$. Si se sabe que $m$ es diferente de cero.

RESOLUCIÓN

Si el numeral $\overline{34\textrm{m}5\textrm{n}}$ es múltiplo de $36$, entonces necesariamente es múltiplo de $4$ y múltiplo de $9$. Esto es debido a que $4$ y $9$ son divisores de $36$.

$\textbf{Nota :}$

$\boxed{\dot{n}\ \textrm{: m\'ultiplo de}\ n}$

Si es múltiplo de $9$, entonces la suma de cifras de este numeral es múltiplo de $9$.

$3+4+m+5+n = \dot{9} \\ \\ m+n+9+3 = \dot{9} \\ \\ m + n + 3 = \dot{9}$

Si $\overline{34\textrm{m}5\textrm{n}}$ es múltiplo de $4$, entonces el numeral que tiene como cifras a las dos últimas cifras de este numeral es múltiplo de $4$.

$\overline{34\textrm{m}5\textrm{n}} = \overline{34\textrm{m}00} + \overline{5\textrm{n}} = 100 \times \overline{34\textrm{m}} + \overline{5\textrm{n}} = \dot{4} + \overline{5\textrm{n}} = \dot{4}$

$\overline{5\textrm{n}} = \dot{4} \\ \\ 50 + n = \dot{4} \\ \\ 48 + 2 + n = \dot{4} \\ \\ \dot{4} + 2 + n = \dot{4} \\ \\ n + 2 = \dot{4} \\ \\ n = \dot{4} +2$

Como $n$ es un número entero no negativo, que varia $0 \leq n \leq 9$ , además necesariamente debe ser un múltiplo de $4$ aumentado en $2$. Los únicos valores posibles de $n$ son $n = 2$ y $n = 6$.

Asumiendo $n = 2$ entonces del resultado anterior $m + 2 + 3 = \dot{9}$ por ende $m = \dot{9} +4$, de este resultado $m$ solo puede ser $m = 4$. En conclusión, para $n = 2$ solo existe un único numeral posible el cual es $34452$ donde efectivamente es múltiplo de $36$.

Asumiendo $n = 6$ entonces del resultado anterior $m + 6 + 3 = \dot{9}$ por ende $m = \dot{9}$, de este resultado $m$ solo puede ser $m = 9$, tenga en cuenta que $m$ es diferente de cero. En conclusión, para $n = 6$ solo existe un único numeral posible el cual es $34956$ donde efectivamente es múltiplo de $36$.

Existen dos numerales posibles, los cuales son 34452 y 34956 siendo el menor 34452. Con esto $m = 4$ y $n = 2$ con lo cual $m+n = 6$.

RESPUESTA

$\boxed{m+n = 6}$