Question

Determinar los valores de k para que la recta L:12x 5y 2k−15=0sea tangente a la circunferencia C:x2 y2 12x−8y 43=0

Answer 1

Para que la recta sea tangente a la circunferencia los valores de k tienen que ser k=14 y k=53.

Explicación:

Podemos hallar el vector director de la recta, pasando de la ecuación reducida a la ecuación continua:

$12x+5y+2k-15=0\\\\5y+2k-15=-12x\\\\5(y+\frac{2k+15}{5})=-12x\\\\\frac{y+\frac{2k+15}{5}}{-12}=\frac{x}{5}$

El vector director es (5,-12). Tenemos que hallar los puntos de la circunferencia donde ese es el vector tangente, para ello vamos a parametrizar la circunferencia:

$x^2+y^2+12x-8y+43=0\\\\-2x_0=12=>x_0=-6\\\\-2y_0=-8=>y_0=4\\\\x_0^2+y_0^2-r^2=43\\(-6)^2+4^2-r^2=43\\\\r=3\\\\x=-6+3.cos(t)\\y=4+3.sen(t)$

Vamos a derivar la función respecto al parámetro para hallar el vector tangente:

$(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(-3.sen(t),3.cos(t))$

El módulo del vector director que hallamos es:

$m=\sqrt{5^2+12^2}=13$

Por lo que vamos a modificar la derivada que hallamos para que tenga módulo 13:

$(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(-13.sen(t),13.cos(t))$

Entonces hallamos el t para que sea (5,-12) o su paralelo (5,-12).

$-13.sen(t)=5=>t=sen^{-1}(\frac{5}{-13})=202,62\°\\13.cos(t)=-12=>cos^{-1}(\frac{-12}{13})=202,62\°$

$-13.sen(t)=-5=>t=sen^{-1}(\frac{-5}{-13})=22,62\°\\13.cos(t)=12=>cos^{-1}(\frac{-12}{13})=22,62\°$

En las paramétricas de la circunferencia, los puntos son:

$x=-6+3.cos(22,62\°)=-6+3\frac{12}{13}=-\frac{42}{13}\\\\y=4+3.sen(22,62\°)=4+3\frac{5}{13}=\frac{67}{13}\\\\x=-6+3.cos(202,62\°)=-6-3\frac{12}{13}=-\frac{114}{13}\\\\y=4+3.sen(202,62\°)=4-3\frac{5}{13}=\frac{37}{13}$

Entonces tenemos que hallar el valor de k para que las dos rectas que pasan por  $(-\frac{42}{13},\frac{67}{13})$ y $(-\frac{114}{13},\frac{37}{13})$:

$12(-\frac{42}{13})+5(\frac{67}{13})+2k-15=0\\\\-\frac{504}{13}+\frac{335}{13}+2k-15=0\\\\-\frac{169}{13}+2k-15=0\\\\-13+2k-15=0=>k=14\\\\12(-\frac{114}{13})+5(\frac{37}{13})+2k-15=0\\\\-\frac{1368}{13}+\frac{185}{13}+2k-15=0\\\\-\frac{1183}{13}+2k-15=0\\\\-91+2k-15=0=>k=53$

Answer 2

Respuesta:

53

Explicación: