Question

Determinar las coordenadas de los puntos correspondientes a la función
y=x3 – 2x2 +1, en los que la pendiente de la recta tangente es 4.

Answer 1

Las coordenadas de los puntos de la función en que la pendiente de la recta tangente es  4  son:  (2, 1)  y  (-²/₃, -⁵/₂₇)

Explicación:

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto no es más que la función derivada evaluada en el punto de tangencia.

Vamos a calcular la derivada de la función dada

y'  =  (x³  -  2x²  +  1)'  =  3x²  -  4x

Ahora igualamos la derivada a  4  y calculamos el o los valores de  x  que satisfacen esa ecuación:

3x²  -  4x  =  4        ⇒        3x²  -  4x  -  4  =  0

Resolvemos usando la fórmula general de la ecuación de segundo grado:

$\bold{x~=~\dfrac{-b~\pm~\sqrt\ b^2~-~4ac}{2a}~=~\dfrac{-(-4)~\pm~\sqrt\ (-4)^2~-~4(3)(-4)}{2(3)}\quad\Rightarrow}$

$\bold{x~=~\dfrac{4~\pm~8}{6}\qquad\Rightarrow\qquad x~=~2\qquad o \qquad x~=~-\dfrac{2}{3}}$

Conocidos los valores de  x  en que la pendiente de la recta tangente es  4, se evalúa la función en ellos para hallar la coordenada   y:

y₍₂₎  =  (2)³  -  2(2)²  +  1  =  1

y₍⁻²/₃₎  =  (-²/₃)³  -  2(-²/₃)²  +  1  =  -⁵/₂₇

Las coordenada de los puntos de la función en que la pendiente de la recta tangente es  4  son:  (2, 1)  y  (-²/₃, -⁵/₂₇)