Question

Determinar las asíntotas horizontales y la gráfica de la función f(x)=(x+1)/(x-2).

Determinar las asíntotas y graficar la función f(x)=(12x-3)/(9x^2-4).

Determinar las asíntotas y graficar la función f(x)=(3x^3+2x^2+5)/(x^2-4).

Determinar las asíntotas y graficar la función f(x)=(4x^2-x)/(x^2-1).

Answer 1

Para poder determinar las asíntotas de cada una de las gráficas, debemos determinar si esta es una asíntota horizontal, vertical, diagonal que se pueden hallar de la siguiente manera

• Asíntota vertical: Las asíntotas verticales se obtienen en los puntos donde el denominador sea 0.
• Asíntota horizontal: Esta se obtiene si tanto dividiendo los coeficientes del término de mayor grado entre el numerador y el denominador si estos tienen el mismo grado. Si el numerador es de menor grado, entonces esta asíntota es 0
• Asíntota diagonal: Si el numerador es un grado mayor que el denominador, entonces la función tiende a comportarse como una recta afín.

Teniendo esto en claro, vamos a hallar cada una de las asíntotas de cada función.

Primer ejercicio

• Asíntota vertical: Podemos ver que el denominador se hace 0 en x= 2, por lo que esta es la única asíntota vertical de la función
• Asíntota horizontal: Como tanto el denominador como el numerador tienen el mismo grado (primer grado), dividimos  x /x, lo que nos da 1, es decir, la única asíntota horizontal es y = 1
• Asíntota diagonal: No tiene pues el numerador tiene el mismo grado que el denominador

Segundo Ejercicio

• Asíntota vertical: Vemos que el denominador se hace 0 en x = ±√(4/9) = ±2/3. Es decir, tenemos dos asíntotas verticales, x = -2/3 y x = 2/3
• Asíntota horizontal: Vemos que el denominador es de segundo grado mientras que el numerador es de primer grado, por lo tanto la asíntota es y = 0
• Asíntota diagonal: No tiene pues el numerador es de menor grado que el denominador

Tercer Ejercicio

• Asíntota vertical: Vemos que el denominador se hace 0 en x = -2 y en x = 2.
• Asíntota horizontal: Esta función no tiene puesto que el numero es de tercer grado y el denominador de segundo grado
• Asíntota diagonal: La asíntota diagonal es 3x + 2, una forma de reescribir f(x) es f(x)= 3x +  2 + (12x+13)/(x²-4), vemos que conforme x tienda a infinito, (12x+13)/(x²-4) se hace cada vez más pequeña y 3x + 2 más grande, por lo que f se va pareciendo a 3x+2

Cuarto Ejercicio

• Asíntota vertical: Se puede observar que el numerador se hace 0 en x = -1 y en x = 1, por lo que estas son sus asíntotas
• Asíntota horizontal: Dado que tanto el numerador como el denominador tienen el mismo grado, por lo que dividimos 4x²/x² = 4, es decir, la recta y = 4 es la asíntota horizontal.
• Asíntotal diagonal: Esta función no tiene asíntota diagonal debido a que tanto el numerador como el denominador tienen el mismo grado.