Question

Determinar la ecuación general de la elipse cuyos focos son F1(2;−3),F2(2;5) y una de sus directrices es y=8.

Answer 1

Respuesta:

E:(x−2)2/12+(y−1)2/28=1

Explicación:

Answer 2

La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos  (2, -3),  (2, 5)   y una de sus directrices es  y  =  8,  es    

3 y²  +  7 x²  -  6 y  -  28 x  -  53  =  0

¿Cuál es la ecuación canónica de la elipse de eje vertical?

De la información aportada sabemos que el eje focal está en posición vertical, por lo que la ecuación canónica de la elipse viene dada por:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~+~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde

• (h, k)  =  centro de la elipse
• a  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor
• b  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje menor

La distancia entre los focos es   8,   ya que los focos se ubican en   (2, -3)  y  (2, 5),  lo que implica que   c  =  4

También se sabe que el punto medio del segmento de recta que une los focos es el punto centro de la elipse, en este caso   (h, k)  =  (2, 1)

Además, se tiene que una directriz es  y  =  8   y que su ecuación es

$\bold{y~=~k~\pm~\dfrac{a^2}{c}}$

Se toma el signo positivo por la posición relativa de la directriz con respecto al centro

$\bold{8~=~1~+~\dfrac{a^2}{4}\qquad\Rightarrow\qquad a^2~=~28}$

Luego, para completar la información de la ecuación, calculamos la distancia    b     por la relación:

a²  =  b²  +  c²        ⇒      b²  =  28  -  16  =  12

Sustituyendo en la ecuación canónica

$\bold{\dfrac{(y~-~1)^2}{28}~+~\dfrac{(x~-~2)^2}{12}~=~1}$

3 y²  +  7 x²  -  6 y  -  28 x  -  53  =  0

La gráfica está anexa

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