Question

determinar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto c(4,3) y es tangente ala recta 5x-12y-10=0​

Answer 1

Respuesta:

$x^2-8x+y^2-6y+21=0$

Explicación paso a paso:

Para obtener la ecuación de la circunferencia ocupas las coordenadas del centro y el radio. Ya tienes el centro C(4,3). Para obtener el radio, checa que nos dan una recta tangente a la circunferencia.

La distancia del centro a la recta corresponde con el radio. Asi que ocupamos la formula de distancia de un punto a una recta:

$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }$

*Donde (x,y) son las coordenadas del punto. Y A,B y C, los obtienes de la ecuación de la recta en su forma general: Ax+By+C=0

Si hacemos la correspondencia con la recta 5x-12y-10=0, observa que:

A=5

B=-12

C=-10

Sustituyendo en la fórmula de distancia:

$d=\frac{|5(4)-12(3)-10|}{\sqrt{5^2+(-12)^2} }\\\\d=\frac{|20-36-10|}{\sqrt{25+144} } \\\\d=\frac{|-26|}{\sqrt{169} } \\\\d=\frac{26}{13} \\\\d=2$

El radio entonces es 2. Y sustituyendo en la ecuación ordinaria de la circunferencia:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\\\\(x-4)^2+(y-3)^2=2^2\\\\(x-4)^2+(y-3)^2=4$

Y ahora lo pasamos a la forma general:

$(x-4)^2+(y-3)^2=4\\\\x^2-8x+16+y^2-6y+9=4\\\\x^2-8x+y^2-6y+21=0$

Respuesta: $x^2-8x+y^2-6y+21=0$