Question

Determinar la ecuación general de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices:P(-2,5) ; Q(4,3) ;R(6,-1)

Answer 1

Respuesta:

C:x2+y2+2x+4y−45=0

Answer 2

La ecuación general de la circunferencia circunscrita al triángulo es x² + y² + 2x + 4y - 2495 = 0.

¿Qué es un circuncentro de un triángulo?

El circuncentro de un triángulo puede hallarse como la intersección de las 3 mediatrices del mismo, este punto coincide con el centro de una circunferencia en la cual está inscrito el triángulo.

¿Qué es una mediatriz de un triángulo?

Una mediatriz de un triángulo es el segmento de recta que siendo ortogonal a cada lado, divide a este en dos segmentos iguales, es decir, pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.

¿Qué es la distancia?

La distancia es el valor de la longitud de un punto a otro. Esta se calcula mediante la expresión:

$d= \sqrt{(x_{1} -x_{0})^{2} +(y_{1} -y_{0} )^{2} +(z_{1} -z_{0} )^{2} }$

Resolviendo:

Obtendremos la expresión analítica de cada segmento de recta del triángulo dado a partir de sus vértices.

Segmento PQ:

m = (3 - 5)/(4 + 2)

m = -2/6

m = -1/3

Usamos la ecuación punto pendiente y sustituimos P:

y - 5 = -1/3(x + 2)

y = -1/3(x + 2) + 5

y = -x/3 - 2/3 + 5

y = -x/3 + 13/3

Segmento PR:

m = (-1 - 5)/(6 + 2)

m = -6/8

m = -3/4

Usamos la ecuación punto pendiente y sustituimos P:

y - 5 = -3/4(x + 2)

y = -3/4(x + 2) + 5

y = -3x/4 - 3/2 + 5

y = -3x/4 + 7/2

Segmento QR:

m = (-1 - 3)/(6 - 4)

m = -4/2

m = -2

Usamos la ecuación punto pendiente y sustituimos Q:

y - 3 = -2(x - 4)

y = -2(x -4) + 3

y = -2x + 8 + 3

y = -2x + 11

Mediatriz PQ:

Esta recta es ortogonal a PQ, por lo tanto, el producto de su pendiente con la recta PQ es igual a -1.

m*(-1/3) = -1

m = 3

Además, pasa por el punto medio a PQ.

Pm = (P + Q)/2

Pm = (-2 + 4, 5 + 3)/2

Pm = (2, 8)/2

Pm = (1, 4)

Reemplazando en la ecuación punto pendiente:

y - 4 = 3(x - 1)

y = 3x + 1

Mediatriz PR:

m*(-3/4) = -1

m = 4/3

Además, pasa por el punto medio a PR.

Pm = (P + R)/2

Pm = (-2 + 6, 5 - 1)/2

Pm = (4, 4)/2

Pm = (2, 2)

Reemplazando en la ecuación punto pendiente:

y - 2 = 4/3(x - 2)

y = 4x/3 - 2/3

Mediatriz QR:

m*(-2) = -1

m = 1/2

Además, pasa por el punto medio a QR.

Pm = (Q + R)/2

Pm = (4 + 6, 3 - 1)/2

Pm = (10, 2)/2

Pm = (5, 1)

Reemplazando en la ecuación punto pendiente:

y - 1 = 1/2(x - 5)

y = x/2 - 3/2

Ahora interceptamos las mediatrices.

Mediatriz PQ con mediatriz PR, igualando:

3x + 1 =  4x/3 - 2/3

9x + 3 = 4x - 2

5x = -5

x = -1

Ahora hallamos a y:

y = 3(-1) + 1

y = -2

Mediatriz PQ con mediatriz QR, igualando:

3x + 1 = x/2 - 3/2

6x + 2 = x - 3

5x = -5

x = -1

y = -2

Ya tenemos el centro de la circunferencia, C(-1, -2). Ahora hallaremos el radio.

d = √((-1 + 2)² + (-2 - 5)²)

d = √(1 + 49)

d = √50 = r

Finalmente, la ecuación canónica es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Sustituimos valores:

(x + 1)² + (y + 2)² = 50²

La ecuación general de la circunferencia:

x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 - 2500 = 0

x² + y² + 2x + 4y - 2495 = 0

Si deseas tener más información acerca de mediatriz, visita:

https://brainly.lat/tarea/2331696

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