Question

Determinar la ecuación de la recta de pendiente − 3 4 y que forma con los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo cuya área tiene un valor de 24 u².

Answer 1

Con los datos que tenemos podemos hacer un dibujo orientativo como el de la imagen que adjunto.

La ecuación general de la recta viene dada por la expresión y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.

Puesto que m = -34, tenemos que y = -34x + n                (*)

Como puedes ver en el dibujo, la recta pasa por un cierto punto P = (0,y), es decir, que la ecuación de la recta se verifica para ese punto. Sustituyendo en la ecuación (*) ese punto tenemos entonces que y = n.

De la misma forma, la recta pasa por cierto punto P' = (x,0) y por lo tanto sustituyendo el punto en la ecuación (*) se tiene que 0 = -34x + n, de donde x = n/34

Por último, sabemos que el área del triángulo que forma la recta con los ejes cartesianos tiene un valor de 24$u^{2}$. Dado que el área del triángulo viene dado por la expresión (base·altura)/2, observando el dibujo tenemos que
$Área= \frac{yx}{2}=24$
$Área= xy=48$

Ahora, como habíamos obtenido que y = n y x = n/34, tenemos que:

$Área= \frac{ n^{2} }{34}=48$, de donde $n^{2}=1632$. Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones, pero nos vamos a quedar con la positiva pues el enunciado dice que la recta se encuentra en el primer cuadrante, por lo que la ordenada en el origen (n) ha de ser positiva. Entonces, $n=4 \sqrt{102}$

Finalmente, la ecuación de la recta r viene dada por la expresión:

$y=-34x+4 \sqrt{102}$

Espero haberte ayudado, A.