Question

DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS PUNTOS

A) (-2,1) ; B) ( 4,5) ; c) ( 5,10) luego determinar el centro y el radio

Answer 1

Ok...cuando te dan dos o tres puntos...lo que tienes que hacer es usar la fórmula general de la circunferencia que se la obtiene desarrollando la ecuación canónica de la circunferencia

$(x-h) ^{2} +(y-k) ^{2} = r^{2}$
Si desarrollas ésta ecuación, nos va a quedar la siguiente

$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0$

Ésta ecuación es la que usaremos...lo que vamos a hacer es : con cada par de puntos que nos dan...vamos a reemplazar en ésta ecuación...
Entonces para el primer punto:(-2;1)

$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0 \\ (-2)^{2} + (1)^{2} +D(-2)+E(1)+F=0 \\ 4+1-2D+E+F=0 \\ -2D+E+F=-5$

Ahora con el segundo punto (4;5)

$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0 \\ (4)^{2} + (5)^{2} +D(4)+E(5)+F=0 \\ 41+4D+5E+F=0 \\ 4D+5E+F=-41$

Ahora con el tercer punto: (5;10)
$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0 \\ (5)^{2} + (10)^{2} +D(5)+E(10)+F=0 \\ 5D+10E+F=-125$

Ahora ya tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas....podemos resolver?..casi siempre...:3

$-2D+E+F=-5 \\ 4D+5E+F=-41 \\ 5D+10E+F=-125$

Entonces tenemos éste sistema de ecuaciones...ahora..por lo general...NO SE DEBERÍA usar los métodos de eliminación, sustitución, igualación porque no siempre nos garantiza una solución verdadera...cuando veas álgebra lineal lo entenderás...la mejor maneja es usando Gauus-Jordan...

Pero por motivos de pereza...lo vamos a resolver usando los métodos ya conocidos...en la segunda imagen te dejo el procedimiento por Gauus Jordan. (opcional)

éste procedimiento te lo dejo en la primera imagen...para que lo veas mejor..

Ahora ya tenemos las respuestas a ese sistema de ecuaciones...$Soluciones: \\ D=6 \\ E=-18 \\ F=25$

Ahora reemplazamos en la ecuación general

$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0 \\ x^{2} + y^{2} +6x-18y+25=0$

Esa sería la ecuación general...si queremos la canónica debemos usar el artificio de completar el cuadrado...

que te lo dejo en la tercera imagen

$( x^{2} +6x+9)+( y^{2}-18y+81 )=-25+9+81 \\ (x+3)^{2} + (y-9)^{2}=65$

y ya¡...entonces ahí te das cuenta cuánto valía el radio...y donde es centro

en la cuarta imagen te dejo el dibujo....

Y eso sería todo espero te sirva y tienes alguna duda me avisas

Nota: disculpa la demora pero...para que lo puedas ver así todo bonito...aún no manejo bien..ésta cosa..jajjaa