Determinar la distancia más corta del punto (0,2) a la gráfica de f( x) =x^2
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Respuesta:
√7/2.
Explicación:
La distancia del punto (0,2) a un punto genérico de la parábola, esto es, a (x, x²) es
D(x) = ((0,2), (x,x²)) = √((x-0)² + (x² -2)²) = √( x² + x⁴ -4x²+4) =√(x⁴ -3x²+4)
Derivando e igualando a cero,
D’(x) = [4x³ -6x]/√(x⁴ -3x²+4) = 0
Luego las abscisas pedidas cumplen que
4x³ -6x = 0
2x(2x² - 3) = 0
x = ±√(3/2)
Y como la derivada segunda es 12x² - 6
que es positiva pata los dos valores ±√(3/2), ambos son mínimos.
Y la distancia mínima para ambos puntos es
D(x) = √(√(3/2)⁴ -3 √(3/2)²+4) = √(9/4 -3·3/2 +4) =√7/2.
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