Question

Determinar la distancia del punto (3; 4; 5) al plano: P: P=(-2;-1;3)+t(3;−1;−2)+r (1; – 6; 5); t = R; r = R

Answer 1

La distancia entre el plano P y el punto (3; 4; 5) que se obiene es:

3,73 unidades

¿Qué es un plano?

Un plano se caracteriza por tener dos dimensiones y contener infinitos puntos y rectas.

La ecuación de un plano:  

π: N[(x, y, z) - (a, b, c)] = 0

Siendo;

• N: normal del plano
• (x, y, z) - (a, b, c): vector genérico

⇒ Ecuación general del plano π: Ax + By + Cz + D = 0

⇒ Ecuación vectorial del plano π: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ(u₁, u₂, u₃) + μ(v₁, v₂, v₃)

¿Qué es el producto vectorial?

El producto vectorial, el producto entre dos vectores que genera un tercer vector.

u × v = |u| • |v| Sen(α)

o

$uxv=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right]$

¿Cómo calcular la distancia de un plano a un punto?

La distancia entre un punto y un plano se obtiene mediante la siguiente fórmula:

$d(P,\pi )=|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2}} } |$

¿Cuál es la distancia del punto (3; 4; 5) al plano: P: P=(-2;-1;3)+t(3;−1;−2)+r (1; – 6; 5)?

Determinar la ecuación general del plano;

$\left[\begin{array}{ccc}x+2&3&1\\y+1&-1&-6\\z-3&-2&5\end{array}\right]=0$

(x+2)[-5-12] - 3[5(y+1)+6(z-3)] + [5(y+1) + (z-3)] = 0

17x - 34 - 3(5y + 5 + 6z - 18) + 5y + 5 + z - 3 = 0

17x - 34 - 15y - 15 - 18z + 54 +5y + 5 + z - 3 = 0

17x - 10y - 17z - 23 = 0

Sustituir en la fórmula de distancia;

$d(P,\pi )=|\frac{17(3)-10(4)-17(5)-23}{\sqrt{17^{2} +10^{2} +17^{2}} } |\\\\d(P,\pi )=|\frac{-97}{\sqrt{678} } |$

d(P, π) = 3,73

Puedes ver más sobre la ecuación de un plano y la distancia entre un punto y un plano aquí:

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