Matemáticas, pregunta formulada por anaxagoras15155, hace 1 año

determinar la convergencia o divergencia de la serie

∞               1
∑      ----------------
n=2     n . (ln n)²

Respuestas a la pregunta

Contestado por MinosGrifo
2
Tenemos:

 a_{n}= \frac{1}{n( ln(n))^{2} }

Y nos piden determinar si ∑ a_{n} desde n = 2 hasta infinito converge o diverge.

Pues bien, debes usar la prueba de la integral para una función f(x) equivalente a la serie. Esta función sería:

f(x)= \frac{1}{x (ln(x))^{2} }

Debido a que la función es positiva y decreciente en el intervalo de 2 a infinito. Se demuestra que la serie converge si y solo si:

 \int\limits^\infty_2 {f(x)} \, dx =c

Es decir si esa integral impropia existe. Lo calculamos entonces:

 \int\limits^\infty_2 { \frac{1}{x (ln(x))^{2} } } \, dx = \lim_{t \to \infty}  \int\limits^t_2 { \frac{1}{x (ln(x))^{2}} \, dx

Para integrar nos preocupamos solo de la antiderivada (nos olvidamos de los límites) y aplicamos un cambio de variable:

u=ln(x)

du= \frac{dx}{x}

Por lo tanto la integral indefinida es:

 \int\ { \frac{1}{ u^{2} } } \, du=- u^{-1}

Si regresamos a nuestras variables originales nos queda:

- \frac{1}{ln(x)}

Ahora hay que evaluar los límites, por lo que nos preocupamos por:

 \lim_{t \to \infty} [- \frac{1}{ln(x)}]

Evaluado en el límite superior ''t'' y el límite inferior 2. Eso es igual a:

- \lim_{t \to \infty} [ \frac{1}{ln(t)}- \frac{1}{ln(2)}]= \frac{1}{ln(2)}

Como esa integral impropia existe, concluimos que la serie converge. Un saludo.
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