Determinar el mínimo o máximo de la función y el punto de inflexión. f(x) = x4 - 2x3
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La función tiene solo un mínimo en x=3/2 y puntos de inflexión en x=0 y x=1.
Explicación:
En cuanto a los extremos de la función, estos se pueden determinar encontrando los puntos del dominio donde la derivada sea f'(x)=0, en particular, estaremos en presencia de un máximo si:
f'(x)=0; f''(x)<0
y de un mínimo si:
f'(x)=0; f''(x)>0
Hallemos las dos derivadas de la función:
Los extremos de la función serán:
La derivada segunda en esos dos puntos es:
Con lo que x=0 no es un extremo y x=3/2 es un mínimo. Por su parte los puntos de inflexión son aquellos donde f''(x)=0. Con lo que x=0 es un punto de inflexión, el otro es:
En la imagen adjunta se puede ver la gráfica de la función donde se aprecian los dos puntos de inflexión y el mínimo.
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