Question

Determinar el limite por coordenadas polares, r tiende a 0+ cuando (x;y) tiende a (0;0).
$\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} \frac{e^{ -x^{2} y^{2} }-1 }{ x^{2} y^{2} }$

Answer 1

La idea es elegir una curva que pase por (0,0)
Elijamos tal curva $\rho(r,t)=0$ 
$x=r\cos t\\ y=r\sin t$

$\displaystyle L=\lim\limits_{r\to 0}\frac{e^{-r^4\cos^2t\sin^2t}-1}{r^4\cos^2t\sin^2t}\\ \\ \text{Fijemos a }t \text{ y coloquemos }k=\cos^2t\sin^2t\\ \\ L=\lim\limits_{r\to 0}\frac{e^{-r^4k}-1}{r^4k}\\ \\ \text{Como estamos en una indeterminaci\'on }0/0 \text{ aplicaremos L'Hopital}:\\ \\ L=\lim\limits_{r\to 0}\frac{-3kr^3e^{-r^4k}}{3kr^3}\\ \\ L=\lim\limits_{r\to 0}-e^{-r^4k}\\ \\ L=-1$

¡Mucho cuidado! con esto no se ha probado que el límite sea -1, puesto que esto no es una condición suficiente para que el límite sea -1, para ello se debe aplicar la demostración epsilon-delta para cerciorarse que -1 sea realmente el límite.

Comentario. Personalmente hallar límites por "coordenadas polares" no me parece un método seguro de descarte del límite, es decir de la búsqueda de límites diferentes. Para probar la no existencia, se trabaja con el contra-recíproco de un teorema sobre límites, que afirma que si el límite en cierto punto existe ENTONCES existe el límite por cualquier conjunto que contenga al mencionado punto.