Question

Determinante álgebra

Sé cómo obtener la determinante de una matriz, en mi caso con cofactores, pero en la imagen 1 no se cuál es el método cuando se agregan tantas variables.

En la segunda imagen ya tengo una idea pero solo necesitaría la respuesta para poder confirmar si lo tengo captado.

Answer 1

1era Imagen

Llamemos A y B a las dos primeras matrices, y C y D a las matrices a las que tenemos que buscar el determinante.

Para sacar la det de la matriz C, sea una de las propiedades:

"Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por un mismo número λ, el determinante correspondiente queda multiplicado por λ"

Es decir, podemos sacar factor común de la columna con todos 7, y de esa forma la determinante de C será igual a la determinante de A pero multiplicada por 7. Por lo tanto:

$det(C)=7.det(A)=7.1=7$

Para la determinante de la matriz D, esta es un poco más complicada, pero no imposible. Haremos uso de la propiedad anterior:

$\left|\begin{array}{ccc}a&-1&d\\b&0&e\\c&1&f\end{array}\right|=(-1).\left|\begin{array}{ccc}a&1&d\\b&0&e\\c&-1&f\end{array}\right|$

Como se puede ver, he factorizado el número (-1) de la 2da columna

Ahora, usaremos una segunda propiedad:

"Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo sumando respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del determinante inicial"

$(-1).\left|\begin{array}{ccc}a&1&d\\b&0&e\\c&-1&f\end{array}\right|=(-1).\left|\begin{array}{ccc}a&2-1&d\\b&2-2&e\\c&2-3&f\end{array}\right|=(-1)[\left|\begin{array}{ccc}a&2&d\\b&2&e\\c&2&f\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}a&-1&d\\b&-2&e\\c&-3&f\end{array}\right|]$

La propiedad dice que puedo descomponer una determinante en la suma de dos, si puedo descomponer una fila. Es decir, descompuse 1 por (2-1), 0 por (2-2) y -1 por (2-3), y luego descompuse el determinante. ¿Cuál es la parte interesante de esto?

La primera determinante que se formó, es la determinante de la matriz A pero multiplicada por 2, ya que la segunda columna lo está. Luego la segunda determinante es la determinante de la matriz B multiplicada por (-1), ya que la segunda columna también lo está. Todo esto utilizando la primera propiedad dictada. Por lo tanto:

$det(D)=(-1)(2.|A|-1.|B|)=(-1)(2.1-1.(-4))=(-1)(2+4)=-6$

Siendo -6 la determinante de la matriz D.

2da Imagen

Para este caso solo aplicamos distributiva y alguna que otra propiedad:

$A(4X+3Y)=A4X+A3Y=4(AX)+3(AY)$

Reemplazas AX y AY por las matrices, las multiplicas por sus respectivos escalares, y luego sumas el resultado de ambas matrices.

Espero haberte ayudado. Se me fue un poco el tiempo, pero traté de hacerlo de la mejor forma para que lo pudieras entender. Saludos!