Question

Determina si el siguiente conjunto de vectores en P2 es linealmente independiente o dependiente.

S={1+x-2x^2,2+5x-x^2,x+x^2 }

Answer 1

$\lambda_1 (1+x-2x^2)+\lambda_2(2+5x-x^2)+\lambda_3(x+x^2)=0\\ \\ \left[\begin{matrix} 1&2&0\\ 1&5&1\\ -2&-1&1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix}\right]$

Solo resta ver si la matriz 3x3 es singular o no singular

$\left[\begin{matrix} 1&2&0\\1&5&1\\-2&-1&1 \end{matrix}\right]\sim \left[\begin{matrix} 1&2&0\\0&3&1\\0&3&1 \end{matrix}\right]$

Y es fácil ver que la matriz es singular, esto quiere decir que el conjunto es linealmente dependiente.