Question

Determina los valores posibles que puede tomar la pendiente de la recta de ecuacion: Y=a.X+raiz cuadrada de 5, para que su grafica intersecte solo en un punto a la circunferencia de ecuacion: X al cuadrado+Y al cuadrado=1

Encuentra los puntos de interseccion y grafica aproximadamente

Answer 1

Para resolverlo debes tener en cuenta lo siguiente:

para que la recta sólo toque en un punto al círculo entonces debe ser una recta tangente al círculo.

Por definición una recta es tangente a un círculo si es perpendicular al radio de esa circunferencia.

Dos rectas son perpendicualres si sus pendientes son opuestas y recírpocas (o sea si la una es m la otra es -1/m)

Como el círculo es $x^2 + y^2=1$ entonces está centrado en el origen (0,0)

las ecuaciones de las rectas de sus radios tienen por intrercepto (0,0)

o sea son de la forma:

y=mx   donde m es la pendiente.

Dijimos que M debe ser la inversa recirpoca de la pendiente de la recta solicitada, o sea que m=-1/a

 

entonces las rectas son:

$y=ax+\sqrt{5}$    

$y=-\frac{1}{a}x$

 

ahora, las rectas deben intersectar al círculo, esa sería una tercera ecuación:

 $x^2 + y^2=1$ despejando y

 $y=\sqrt{1-x^2}$

 

reemplacemos esta ultima valor de y en la recta del radio:

 $\sqrt{1-x^2}=-\frac{1}{a}x$

elevemos al cuadrado

$1-x^2=\frac{1}{a^2}x^2$

$a^2-a^2x^2=x^2$

$a^2-a^2x^2-x^2=0$

$a^2-x^2(a^2+1)=0$

$x^2=a^2/(a^2+1)$

$x=a/\sqrt{(a^2+1)}$

 

reeplaza este valor de x en la primera ecuación y te quedará una ecuación para a, que uedes resolver. 

 

te quedaría algo así inicialmente:

 

 $-\frac{1}{a}a/\sqrt{(a^2+1)}=a(a/\sqrt{(a^2+1)})+\sqrt{5}$

 

que tienes que resolver para a

comencemos:

 $-\frac{1}{\sqrt{(a^2+1)}}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+1)}}+\sqrt{5}$

 $-\sqrt{5}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(a^2+1)}}$

 $-\sqrt{5}=\frac{a^2+1}{\sqrt{(a^2+1)}}$ 

 $-\sqrt{5}=\sqrt{(a^2+1)}$ 

 $5=a^2+1$ 

 $a^2=4$ 

 $a=2$ o $a=-2$ 

 

ahi la tienes, la pendiente de la recta tangente a la circunferencia dada puede ser 2 o -2

o sea

$y=2x+\sqrt{5}$  o $y=-2x+\sqrt{5}$