Question

Determina los valores donde la función es discontinua e identifica el tipo de discontinuidad: si tiene asintota vertical, determina su ecuación; si tiene discontinuidad removible o evitable determina sus coordenadas.​

Answer 1

La primera función tiene discontinuidades en x=6 (salvable) y x=-2 (insalvable con asíntota vertical), y la segunda función tiene discontinuidad en x=5 (salvable) y en x=-5 (insalvable con asíntota vertical).

¿Como evaluar las discontinuidades en la primera función?

En la primera función tanto el numerador como el denominador son funciones polinómicas, las cuales son siempre continuas para todos los reales, por lo que la única posibilidad está en los puntos donde el denominador se anula. Para hallar esos puntos resolvemos la ecuación cuadrática:

$x^2-4x-12=0\\\\x=\frac{-(-4)\ñ\sqrt{(-4)^2-4.1.(-12)}}{2.1}=\frac{4\ñ\sqrt{16+48}}{2}\\\\x=6\\x=-2$

Hallamos el límite en x=6 y queda:

$\lim_{x \to 6} \frac{x^2-36}{x^2-4x-12}=\lim_{x \to 6} \frac{(x+6)(x-6)}{(x-6)(x+2)}=\lim_{x \to 6} \frac{x+6}{x+2}=\frac{3}{2}$

El límite en ese punto existe, por lo que la discontinuidad es evitable, puede ser salvada redefiniendo la función como sigue:

$\frac{x^2-36}{x^2-4x-12},~~con~~x\neq 6\\\\x=\frac{3}{2},~~con~~x=6$

En cuanto al punto x=-2 tenemos:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2-36}{x^2-4x-12}=\lim_{x \to -2} \frac{(x+6)(x-6)}{(x-6)(x+2)}=\lim_{x \to -2} \frac{x+6}{x+2}=+\infty$

El límite no existe, por lo que la discontinuidad es inevitable, como da infinito, la función tiene una asíntota vertical de ecuación x=-2.

¿Como evaluar las discontinuidades en la segunda función?

La segunda función va a tener discontinuidades en los puntos donde el denominador se anula, ya que las funciones polinómicas están definidas para todos los reales:

$x^2-25\\x=5\\x=-5$

El límite en x=5 es:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2-5x}{x^2-25}= \lim_{x \to 5} \frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)}=\lim_{x \to 5} \frac{x}{x+5}=\frac{1}{2}$

La discontinuidad es evitable porque el límite existe, se puede redefinir la función como sigue:

$\frac{x^2-5x}{x^2-25}~~con~~x\neq\5\\\frac{1}{2}~~con~~x=5$

El límite en x=-5 es:

$\lim_{x \to -5} \frac{x^2-5x}{x^2-25}= \lim_{x \to -5} \frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)}=\lim_{x \to -5} \frac{x}{x+5}=\infty$

La discontinuidad es insalvable porque el límite no existe, como da infinito, hay una asíntota vertical de x=-5.

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