Question

Determina los valores de k para los cuales la ecuación 9kx2 − 60x + 6k + 1 = 0 tiene raíces iguales.

Answer 1

Los valores de  k  para los cuales la ecuación

9kx²  −  60x  +  6k  +  1  =  0

tiene raíces iguales son:

k  =  4             ∧                  k  =  -²⁵/₆  

Explicación paso a paso:

Si las raices son iguales, se sabe que el llamado discriminante en la fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado es nulo:  

Sea la ecuación     ±ax²  ±  bx  ±  c  =  0      entonces,  

$\bold{x~=~\frac{-b~\pm~\sqrt{b^{2}~-~4ac}}{2a}}$  

donde el discriminante es:

$\bold{discriminante~=~b^{2}~-~4ac}$  

En el caso que nos ocupa:  

9kx²  −  60x  +  6k  +  1  =  0

a  =  9k           b  =  -60        c  =  6k  + 1

Sustituyendo en la fórmula  del discriminante e igualando a cero

$b^{2}~-~4ac~=~(-60)^{2}~-~4(9k)(6k~+~1)~=~0\qquad\Rightarrow$  

$3600~-~216k^{2}~-~36k~=~0\qquad\Rightarrow$  

$216k^{2}~+~36k~-~3600=~0\qquad\Rightarrow$  

$6k^{2}~+~k~-~100=~0\qquad\Rightarrow$  

Aplicando la fórmula general

a  =  6           b  =  1        c  =  -100  

$k~=~\frac{-b~\pm~\sqrt{b^{2}~-~4ac}}{2a}~=~\frac{-1~\pm~\sqrt{(1)^{2}~-~4(6)(-100)}}{2(6)}~=~\frac{-1~\pm~49}{12}$  

Las raíces son:                  k  =  4             ∧                  k  =  -²⁵/₆  

Los valores de  k  para los cuales la ecuación

9kx²  −  60x  +  6k  +  1  =  0

tiene raíces iguales son:

k  =  4             ∧                  k  =  -²⁵/₆